2020 6월 수학나형 30번 짝수형(고3 대학수학능력시험 6월 모의평가(모의고사)

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2019년 6월 4일 시행

오답률 : 95%로 1위를 차지했습니다.

출제영역 : 3차 함수 

발문의 순서대로 문제를 풀 것.

최고차항의 계수가 1이고 $f(2) = 3$인 삼차 함수이므로

$f(x) -3 = (x-2)(x^2 + bx + c) $

그러고 나서 $g(x)$가 주어졌습니다. 

$g(x) = \frac{ax-9}{x-1} (x < 1) $

$g(x) = f(x) ( x \ge 1)$

주어진 $g(x)$에서는 $x<1$범위에서 $(0,9)$를 지나고 $x = -1$이 점근선인 것을 알 수 있습니다. 그러고 나서 다음 발문을 보겠습니다.

$y = t = -1$일때 $y = t \ge 3$일때만 $g(x)$는 서로 다른 두 점에서 만납니다. 지금까지의 정보를 토대로 그래프를 그려보겠습니다.

그럼 저희는 여기서 $f(x)$그래프를 생각해 보야합니다. 제가 항상 강조하듯이 킬러 문제에는 숫자 하나 점하나에 힌트가 있습니다. $t \ge 3$인 $t$에 대해서 $g(x)(x < 1)$는 무조건 한 점에서 만납니다. 그러므로 $g(x) = \frac{ax-9}{x-1}$의 점근선은 $y = 3$이 되어야하므로 $a = 3$이됩니다.

$g(x) = \frac{3x-9}{x-1}$

또한 $t \ge 3$에서 $f(x)$가 만나는 점은 하나가 되어야 합니다. 그런데 $f(x)$의 최고차항은 양수이므로 $f(x)$도 무조건 한점에서 만나게 됩니다. 그 경계가 $y = 3$이고 $f(x)$의 그래프가 $(2,3)$을 무조건 지나므로 $(2, 3)$에서 극점을 가진다는 것을 알 수 있습니다.

즉  $f(x)$의 그래프는 이런 식으로 그려져야 합니다.

그러면 $ t \ ge 3$에서만 $g(x)$가 서로 다른 두 점에서 만나게 됩니다. 그리고 다음 조건을 보면 $y = t = -1$에서만 서로다른 두점을 가지므로 $f(x)$와 $y = -1$이 서로다른 두점에서 만나야 하므로 그래프는 $y = -1$에 접해야 한다는 것을 알 수 있습니다. 즉 $y = -1$에서 극점을 가져야 합니다. 즉 그래프는 이런 식으로 됩니다.

$f(x)$는 $(2, 3)$에서 극점을 가지고 $y = -1$에 접해야 하므로

$f(x) -3 = (x-2)^2(x-k)$

$f'(x) = 2(x-2)(x-k) + (x-2)^2$ = $(x-2)(3x-2k-2)$

$x = \frac{2k+2}{3}$

$f(\frac{2k+2}{3}) = (\frac{2k-4}{3})^2(\frac{2-k}{3}) +3 = -1$

$k = 5$

$f(x) = (x-2)^2(x-5) + 3$이되고

$g(x)  = \frac{3x-9}{x-1}(x<1)$

$g(x) = f(x) = (x-2)^2(x-5)+ 3( x \ge 1)$

$g(g(-1)) = g(6) = 4^2(1) + 3 = 19$

잘 이해가 가지 않거나 원하시는 문제의 풀이가 있으면 댓글 남겨주시길 바랍니다.

감사합니다.

 

 

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