안녕하세요. 푸디헬스입니다.
시험을 볼 때 가장 중요한 것은 심리적인 요인입니다. 공부를 잘하는 사람도 시험에는 긴장이라는 예측 불가능한 요소가 개입이 되기 때문에 원하는 결과가 나오지 않을 수도 있습니다. 그래서 시험에서 심리적인 리듬이 중요합니다. 그래서 대부분의 시험들이 앞부분에는 쉬운 문제를, 뒤로 갈수록 어려운 문제를 배치해 놓습니다. 수학 모의고사 시험을 볼 때 앞의 쉬운 문제를 풀 때는 수월하게 풀다가, 잘 풀리지 않는 한 문제를 만나게 되면 수험생들은 멘털이 흔들리게 되거나, 안정적인 심리적인 리듬이 깨지게 됩니다. 이 순간부터 멘털 관리를 잘하는 학생과 그렇지 못한 학생 사이에서의 차이가 드러나게 됩니다. 그럼 중요한 것은 이 멘털 관리는 어떻게 하는가?입니다.
해결방법은 간단합니다. 수학 문제를 꾸준히 푸는 것입니다. 그런데 그냥 수학 문제를 매일 풀어라는 의미가 아니라, 공부를 하면서 멘털이 흔들리는 문제에 관한 단원(예를 들어 포물선 단원, 쌍곡선 단원에서 멈칫했다면)을 꾸준히 푸는 것입니다. 그럼 시험에서 그 단원의 문제를 맞닥뜨렸을 때, 그 문제에 대한 유형이 익숙해져 있어 자신감을 갖고 문제에 접근할 수 있습니다. 이 자신감이 시험에서의 안정적인 심리적 리듬을 유지하게 해주는 원동력이 되어 시험을 좀 더 편안하게 치르게 해 줍니다.
- 즉, 수학시험을 볼 때 안정적인 심리적 리듬이 깨지는 단원을 평소에 풀어보는 연습을 가지면, 반복된 연습이 평소에는 어려웠던 문제들을 다소 편안하게 풀게 해 줍니다.
그럼 문제를 2019 고3 6월 모의평가 문제를 풀어보겠습니다.
29번입니다.
발문에서 조건 (가)까지 그림을 그려보겠습니다.
조건 (나)에 AB벡터에서 점 A가 시작점이고, 조건 (가)에서 점 A가 가운데 각을 의미하므로 점 A를 원점으로 놓습니다. 그럼 원 O1위의 점은 (5 cos , 5 sin)으로 놓을 수 있습니다.
cos(각 CAB) = 3/5이므로 점 C가 (3, 4)이거나 (3, -4)인 것을 알 수 있습니다. ( 편하게 점 C를 (3, 4)로 잡겠습니다.)
두 벡터의 내적의 기하학적인 의미는 한 벡터를(CD벡터) 다른 벡터(AB벡터)에 정사 영시 킨 벡터(C'D'벡터)의 크기와 다른 벡터(AB벡터)의 크기의 곱과 같습니다. 그래서 조건 (나)를 이와 같이 바꿀 수 있습니다.
AB벡터 · CD벡터 = |AB벡터| × |C'D'벡터| = 5 × |C'D'벡터| = 30
|C'D'벡터| = 6이 됩니다. 그리고 |CD벡터| < 9이므로(점 D1이 되면 |CD1|>9가 되어 점 D1은 될 수 없습니다.)
점 C가 (3, 4) 일 때 점 D는 (9,3)이 됩니다.
조건을 그림으로 모두 표시했습니다. 그럼 PA벡터 · PB벡터의 최댓값을 구해보겠습니다.
PA벡터 · PB벡터는 크기와 방향이 모두 변하므로 계산하기가 어렵습니다. 그래서 이런 벡터는 종점 A, B의 중점 M벡터를 잡으면 밑과 같이 변형할 수 있습니다. ( 이 방법은 모의고사 벡터 문제에 자주 사용되기 때문에 알아두시면 유용합니다.) 그래서 이를 이용해 밑과 같이 식을 변형시킬 수 있습니다.
그럼 여기서 PM길이의 최댓값만 구하면 됩니다.
PM길이의 최댓값은 원 밖의 한 점과 원위의 점의 거리의 최댓값이므로, 점 M과 원의 중심 T와의 거리를 구한 다음 반지름을 더하면 PM의 최댓값이 됩니다.
TM = 점 M과 점 T사이의 거리 = 7/√2
반지름 = √37/2
PA벡터 · PB벡터 = (7/√2+√37/2)^2 - (5/2)^2 = 55/2 + 7√74/2
그래서 위와 같이 구한 다음 a + b를 하면 31이 나옵니다. 발문에 주어진 순서대로 풀면 그리 어렵지 않게 풀리는 문제였습니다. 다음 문제를 풀어보겠습니다.
30번 문제입니다.
발문을 차근차근 읽어보겠습니다.
곡선 y = f(x) 위의 점 (t, f(t))에서의 접선의 y절편이 g(t)라고 하였으므로, g(t)는 쉽게 구할 수 있습니다.
그리고 발문에서 g(t+1) - g(t)는 중괄호로 묶여있고, 1+t^2은 양수입니다. 그리고 1+t^2를 넘겼을 때 2t/(1+t^2)을 적분하면 ln이 나오므로(발문의 조건에 ln이 나옵니다.) 자연스럽게 양변을 1+t^2으로 나눕니다.
그러면 이와 같은 식이 나오게 됩니다. 그다음 발문을 읽으면 이와 같은 조건이 나옵니다.
그러므로 위에서 두식을 0부터 1까지 적분을 해봅니다.
그럼 이와 같은 식을 얻을 수 있습니다. 그러고 나서 그다음 발문을 읽어보겠습니다.
발문에 -4~4까지 f(x)의 적분 값이 있습니다. 그러므로 1 번식을 -4에서 4까지 적분을 해봅니다.
그러면 발문에서 구하는 값은 g(t)를 -4에서 4까지 적분한 값을 -1/2로 나눈 값이 됩니다. 그럼 지금부터는 앞의 정보를 토대로 g(t)를 -4에서 4까지 적분한 값을 구해봅니다.
②식에서 g(t)를 0~1까지 적 분했을 때 아래와 같이 나왔습니다.
0~1까지 적 분했을 때, g(t)를 2~1까지 적분 한식을 0~1까지 적분한 식으로 표현할 수 있으므로 1~2까지, 2~3까지를 반복해서 계산해봅니다.
그러면 이와 같이 g(t)를 0~4까지 적분한 식을 구할 수 있습니다.
똑같은 방식으로 한 번 더 -4~0까지 적분 값을 구합니다.
검은색부터 계산한 다음, 빨간색을 보고, 파란색을 위에서 아래로 쭉 더하면 됩니다.
그래서 앞에서 구한 것과 더하면 이와 같이 됩니다.
앞에서 0에서 1까지 g(t)의 적분 값을 구했으므로 이를 대입해주면 -4~4까지 g(t)의 적분 값이 계산이 됩니다.
저희는 -1/2 ×g(t)의 값을 구해야 하므로 -1/2로 나누어주면 16이 됩니다. 그래서 정답은 16입니다.
계산 양이 많아 보였지만, 발문의 순서를 따라서 문제를 풀어보면 어렵지 않게 풀리는 문제였습니다.
수능 공부를 하는 데 있어 가장 좋은 기출문제는 평가원 기출문제입니다. 수능이 얼마 남지 않았고, 9월 평가원이 얼마 남지 않았습니다. 미래를 위해 열심히 공부하는 수험생들을 늘 응원합니다. 지금까지 읽어주셔서 감사합니다.
2019 고3 6월모의고사 21번 풀이입니다.
2019 고3 대학수학능력시험 6월 모의고사(모의평가) 수학 가형 21번 풀이
안녕하세요. 푸디헬스입니다. 2018년 6월 7일 목요일 한국교육과정평가원의 주관하에 치러진 시험으로, 수학 가형 1 등급컷은 85점(표준점수 131점)으로 체감 난이도가 상당히 높았던 시험이었습니다. (다른 과목..
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