2019 수능수학가형 29, 30번 짝수형 문제풀이(대학수학능력시험)

2019 대학수학능력시험 수학 가형_짝수.pdf

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2019 대학수학능력시험 답지.pdf

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안녕하세요. 푸디헬스입니다.

2020 고3 6월 모의고사 포스팅에서 수능 수학을 대비하는 마음가짐에 대한 견해를 썼었습니다. 한마디만 더 드리면, 수학에서 좋은 점수를 받기 위해서는 자신이 풀 수 있는 쉬운 문제를 빠르고 정확하게 푸는 것이 가장 중요합니다. 어려운 4점짜리 문제들과 20, 21, 29, 30번과 같은 킬러 문제를 푸는 것이 1등급을 향한 길이 되겠지만, 그 길을 가면서 발을 헛디디딘다면(다른 쉬운 문제에서 실수를 한다면) 1등급을 받을 수 없습니다. 그러므로 어려운 문제들을 잘 푸는 것도 중요하지만, 더욱 중요한 것은 쉬운 문제를 빠르고 정확하게 풀어 킬러 문제들을 풀 수 있는 시간을 많이 확보하는 것이 가장 중요합니다.

그럼 지금부터 2019 대학 수학능력시험 수학 가형 29, 30번 문제를 풀어보겠습니다.

29번 문제입니다.

벡터 문제입니다. 문제가 군더더기 없이 깔끔합니다. 그럼 차근차근 발문을 읽으면서  조건을 파악해 보겠습니다.

빨간 선까지 문제를 읽었으면, 저희는 발문에 근거해서 그림을 그릴 것입니다. 그런데 제가 2020 고3 6월 모의고사 포스팅에서 말씀드렸듯이, 킬러 문제에서는 숫자 자체가 큰 힌트가 됩니다. 그래서 숫자에 의미를 부여할 수 있다면 의미를 부여하는 게 알맞은 방향이 됩니다. 

그래서 저는 순수하게 문제 그대로 해석하여 그림으로 나타내었습니다.

 

그러면 그림과 같이 표현할 수 있습니다. P와 R은 AB와 AC의 1/4의 지점까지 움직일 수 있습니다. 벡터를 어려워하시는 분들이 많으신데, 벡터는 좌표평면 위의 점이라고 생각하면 쉽습니다. AP를 가만히 두고 점 R의 위치를 움직직여 보면서 AP와 AR을 더해보면, 빨간 벡터의 왼쪽 부분을 채울 수 있다는 것을 쉽게 아실 수 있습니다. 똑같은 사고방식으로 AR을 두고 P를 움직여보면, 빨간 벡터의 오른쪽을 채울 수 있습니다. 결론적으로 1/4(AP + AR) 벡터는 빨간색으로 색칠한 평행사번형이 됩니다. 

 

 

이제 이 평행사변형을 1/2AQ벡터만큼 더 해주면 됩니다. 제가 아까 벡터는 좌표평면으로 생각하면 쉽다고 말씀드렸습니다. 그러니깐 평행사변형을 Q의 위치로 평행 이동시킨다고 생각하면 쉽습니다. 이를 그림으로 표현하면 다음과 같이 됩니다. 그래서 생각하기 쉽게 1/2 AQ를 의미하는 Q의 맨 끝점만 표시한 다음 Q는 움직일 수 있으므로, 그 사이의 영역을 쓸고 지나간다고 생각할 수 있습니다.

 

 

결론적으로 저희가 구하는 AX 벡터의 영역은 검은색으로 칠한 영역이 됩니다. 문제에서 X가 나타내는 영역의 넓이를 구하라고 하였으므로, 

1/4등분을 하였으므로 삼각형을 1/4 지점을 기준으로 16 등분하여 색칠한 영역의 삼각형 개수를 세어줍니다. 그러면 총 10개이므로 삼각형의 넓이 9 * 10/16 = 45/8이 되어 정답은 53이 됩니다.

문제에서 주어진대로 순수하게 풀면 깔끔하게 정답이 나오는 아주 좋은 문제였습니다. 이 문제를 푸는 데 사용한 사고방식은 2020 고3 6월 모의고사 수학 가형의 29번 벡터 문제에 풀이에도 똑같이 적용이 됩니다.

 

모의고사 - 2020 고3 6월 모의고사 수학 가형 풀이

 

 

이제 30번을 풀어보겠습니다.

3차 함수 미분 문제입니다. 발문을 읽으면서 중요한 부분에 줄을 쳤습니다. 

자 그럼 문제를 같이 읽어보겠습니다.

g(x)에 대한 이해는 어렵지 않게 할 수 있습니다. g(x)를 읽고 난 뒤 가장 먼저 맞닥뜨리는 것은 조건(가)입니다.

 

문제에서 알파(alpha)는 g(x)의 극대 극소라고 하였습니다. 그래서 (가)의 조건을 보고 저희는 이런 식을 도출할 수 있습니다.

 

 

그런데 빨간색 동그라미를 친 것처럼 f(0)의 값을 조건(가)만 보아서는 정확히 알 수 없습니다.

즉 f(0)에 대한 의문이 생기게 됩니다. 그런데 문제의 맨 마지막에 f(0)에 관한 조건이 있습니다. f(0) 대한 의문이 있었으니 당연히 해결할 조건이 있어야 합니다. 

 

이 조건으로 인해 f(0)의 값과 f(0)의 미분 값을 결정할 수 있습니다. 이로 인해 f(x) 식을 맨 아래와 같이 쉽게 잡을 수 있습니다. 그럼 조건(가)는 끝이 났습니다.

조건(나)으로 넘어가겠습니다.

 

조건(나)입니다. 조건(나)은 g(알파)에 관한 조건들입니다. 문제에서 알파는 극대 또는 극소라고 하였으므로 저희는 당연히 g(x)를 미분한 함수를 떠올리게 됩니다.

 

그래서 g(x)를 미분함 함수에 알파 값을 넣으면 0이 되어야 하므로 그 값을 조사해보면, 이와 같은 조건들(빨간색)이 나오게 됩니다.  

 

g(알파) 값들은 1 또는 1/3 값을 가져야 하는데 조건(나)에 넣어보면 성립하지 않습니다

 

.

즉, g(알파 5) 또는 g(알파 2)는 f의 극대 또는 극소값에서 온 것이라는 것을 알 수 있습니다. 즉, x = 0을 제외한 f(x)미분 = 0이 되는 x값이 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 그럼 여기서 저희는 이제 함수 f(x)에 대해 조사하게 됩니다. 조건 (가)와 앞의 조건들로 인해 저희는 f(x) 함수는 x = 0과 x = k( k>0 왜냐하면 알파 5와 알파 2의 값 중 하나가 돼야하기때문)에서 극대 또는 극소 값을 가지고 f(0) = pi/6을 알고 있으므로 대략적인 함수의 개형을 알 수 있습니다.

 

함수의 개형은 알지만 극솟값이 알파 2인지 알파 5인지 결정해야 합니다. 극솟값이 알파 2일 때를 고려해보면

g(알파 2) = 2/5가 되고

sin(f(알파 2)) = 1/2가 됩니다. 그러면 f(알파 2) = -7pi/6 이하이거나 pi/6 이상 값인데 -7pi/6 이하는 될 수가 없습니다.

-pi/2가 존재하기 때문에 더 이상 알파 2 값이 아니게 되는 것이죠.(모순입니다.)

pi/6 이상 값도 가질 수 없습니다. 그래프에서 보듯이 pi/6 이하의 값만 가질 수 있습니다. 그러므로 1번 그래프는 불가능하다는 것을 알 수 있습니다.

 

그러므로 2번 그래프와 같이 극솟값이 알파 5가 되어야 하고, 알파 2의 함숫값이 -pi/2이므로 g(알파 2) = 1이 되고, g(알파 5) = 2/3이 됩니다.

이를 계산해보면 sin(f(알파 5)) = -1/2가 되고

f(알파 5) = -17pi/6이 됩니다.(-5pi/2보다 커야 되기 대문입니다.)

그래서 아래와 같이 2개의 조건을 더 구했으므로 이제 f(x)를 구할 수 있습니다.

그 뒤부터는 계산문제이니 제가 계산의 풀이과정만 보여드리겠습니다.

그래서 아래와 같이 f(알파 5) =-17pi/6 값과

f(알파 5)의 미분 값 = 0을 이용해

f(x)를 구하고 문제에서 원하는 값을 구해보면 아래와 같은 식이 나오게 됩니다.

마지막은 있어서 빨간선 왼쪽은 계산과정을 생략했습니다.

마지막 빨간 선 왼쪽 부분은 계산문제이기 때문에 계산과정을 생략하고 결과만 썼습니다. 2019 대학수학능력 시험 수학 가형 킬러 문제 29, 30번 문제를 풀어보았습니다. 29번 문제는 계산량도 적고 문제도 깔끔했지만, 30번 문제는 생각보다 계산량이 있었습니다. 하지만 문제를 푸는 과정은 똑같았습니다. 발문을 읽는 순서대로 문제풀이 사고 과정을 따라오면 그리 어렵지 않게 문제에 접근할 수 있었습니다. 30번을 풀면서 느낀 점은 계산량이 있는 문제도 실수하지 말고 정확히 풀 수 있는 능력을 가져야 한다는 것입니다. 

그럼 지금까지 2019 대학수학능력 시험 수학 가형 29번 30번 풀이를 마치겠습니다.

나머지 문제풀이를 원하시는 분은 댓글 남겨주시면 바로 올려드리겠습니다. 읽어주셔서 감사합니다.

 

2019학년도 대학수학능력시험(수능) 21번 문제풀이 입니다.

수능(모의고사) - 2019학년도 대학수학능력시험(수능) 수학 가형(짝수)21번 문제 풀이