안녕하세요. 푸디헬스입니다.
앞으로 모의고사 문제를 풀어보고 중요 문제 풀이와 그에 대한 제 견해를 포스팅할 예정입니다. 6월 모의고사는 대학 수학 능력 시험 응시 수험자들의 학력 수준 파악 및 난이도 조절을 위해 치러지게 됩니다. 그러니 수능을 앞둔 수험생에게는 중요한 시험이 됩니다. 모의고사 풀이를 하기 전에 이 포스팅을 읽으시는 분들에게 드리고 싶은 말이 있습니다. 시험을 보는 태도에 관한 것입니다.
제가 가장 먼저 드리고 싶은 말은 수능 수학은 쉽다입니다. 그 이유는 한국 교육과정 평가원에서 출제한 문제들, 즉 대학 수학능력시험과 수능 모의평가인 6월, 9월 모의고사 문제들의 출제범위는 상당히 넓습니다. 그런데 출제할 수 있는 문제들은 30문제로 정해져 있습니다. 그럼 출제진들은 어쩔 수 없이(혹은 당연하게도) 중요한 개념을 학생들에게 물어볼 수밖에 없습니다. 그래서 넓은 시험 범위에서 각 단원의 중요한 개념들만 나오기 때문에 좁은 범위에서 자세하게 나오는 고등학교의 내신 문제들보다 훨씬 쉽습니다.
그리고 믿기 힘드시겠지만, 출제진들은 학생들이 최대한 높은 점수를 받기를 바라면서 문제를 만듭니다. 그래서 문제를 낼 때도 학생들이 문제를 최대한 잘 풀 수 있도록 하기 위해, 문제를 읽으면서 그 문제의 개념을 떠올릴 수 있게 문제풀이 순서대로 문제를 만듭니다. 저는 문제를 발문이라고 명명하는데, 그래서 발문이 매우 중요합니다. 발문의 중요성을 알고 출제진들의 문제 의도를 파악하면 30문제의 모든 문제들은 매우 깔끔하게 풀립니다. 수험생들 중에 모의고사에 있는 문제를 자세히 모두 읽는 사람은 저는 거의 없다고 봅니다. 왜냐하면 발문의 중요성을 잘 모르기 때문입니다.
이 글을 읽고 있는 수험자분이 있으시다면, 속는 셈 치고 문제를 푸실 때 한 번쯤은 문제를 꼭 읽고 문제를 풀어보시길 권합니다. (되도록이면 꼭 읽고 푸시길 권장합니다. 100분에서 문제 읽는 시간은 얼마 걸리지 않습니다. 시간이 부족하신 분은 문제 읽는데 낭비되는 시간, 쓰는데 낭비되는 시간 때문에 부족한 것이 아니라 수학 실력이 부족한 것입니다.)
서론이 길었습니다. 그래서 제가 수험자분께 강조드리는 것은(읽기 싫으시면 이것만 보시길 바랍니다.)
- 수능 수학은 쉽다는 믿음을 가져야 한다.
- 수능 모의평가 문제들도 쉽다는 믿음을 가져야 한다.
- 웃기는 얘기일 수도 있지만 위와 같은 믿음에 관한 문제가 시험문제를 풀 때 심리적으로 긍정적인 효과를 준다.
- 출제진들은 수험생들이 최대한 좋은 점수를 받게 하기 위해 문제 풀이 과정 순서대로 사고할 수 있도록 문제를 낸다.
- 그래서 발문이 매우 중요하다.
- 발문을 읽으면서 출제진들의 문제 의도를 파악하면 모든 문제는 깔끔하게 풀린다.
그럼 지금부터 2020 고3 6월 모의고사 수학 가형 문제에 관한 포스팅을 해보겠습니다.
2020 수학 가형 모의고사는 아주 잘 치러진 시험입니다. 2문제 정도를 틀려도 1등급이 나오기 때문입니다. 누구나 실수를 하기 때문에, 2문제 정도를 틀려도 1등급이 나오는 시험은 아주 잘 치러진 시험입니다. 문제가 좋다는 의미입니다.
그리고 이번 시험에서 출제진들의 의도를 파악하면 그리 어려운 문제들은 없었습니다. 6월 모의고사에서 제가 뽑은 문제들은 7, 13, 14, 18, 19, 20, 21, 24, 26, 27, 29, 30입니다. (다른 문제 풀이 영상을 원하시면 댓글 달아주시면 올리도록 하겠습니다.)
그럼 이문제들 중에서 29번과 30번을 풀어보겠습니다.
29번입니다.
2020학년도 6월 고3 평가원 모의고사 수학 가형 29번 문제입니다. 출제영역은 벡터입니다. 문제의 길이가 길어 문제를 읽으면서 어렵게 느껴질 수 있지만, 문제의 순서대로 차근차근 풀어보면 어려운 문제가 아닙니다. 문제를 읽으면서 어떤 식으로 문제풀이의 힌트를 제공하는지 같이 한번 읽어보겠습니다.
29번 30번과 같이 킬러 문제들은 숫자가 힌트가 되는 경우가 매우 많습니다. 이 문제를 읽으면서 연관이 있는 숫자에는 관심을 가져야 합니다.
왜 하필 범위가 2부터 시작하는지 OQ의 길이가 왜 2인지 눈여겨보아야 합니다.(같은 숫자이기 때문이죠.)
그래서 문제에 맞게 그림을 그려보면 이와 같이 그릴 수 있습니다.(여기서 2 가 큰 역할을 합니다.)
P도 움직이고 Q도 움직이지만 저희는 문제를 파악하기 위해 가장 쉬운 점을 하나 찍어서 문제를 파악하는 방법이 가장 쉽습니다. 그럼 여기서 OZ = OP + OX + OY를 해석해야 하는데, P도 움직이고, Q도 움직이고, X도 움직이고, Y도 움직이고 너무 복잡합니다. 그래서 저희는 가장 쉬운 점을 찍은 상태로 X만 움직일 때(Y는 움직이지 않는다고 생각하고), 그리고 Y만 움직일 때만을 고려해서 문제를 파악합니다.
파란색으로 X만 움직일 때 OZ를 표시한 것이고, 빨간색으로 Y만 움직일 때 OZ를 표시한 것입니다. 그러면 각각의 X에서(파랑 색선에서) Y만큼(빨간 선만큼) 움직일 수 있으므로 평행사변형만큼의 영역이 움직인다는 것을 알 수 있습니다.
P가 맨 밑에 있을 때도 똑같은 방식으로 적용하면 왼쪽의 그림과 같이 되는 것을 알 수 있습니다.
그래서 영역 D는 빨간색으로 줄을 그은 영역만큼 나타나게 됩니다. 문제에서 영역 D에 속하는 점 중 y축과의 거리가 최소인 점을 R이라고 하였으므로, 제일 처음에 찍은 P점의 위치가 R이 됩니다.
그럼 문제 파악이 끝이 났습니다.
문제에서 OR벡터와 OZ백터의 내적의 최댓값과 최솟값의 합을 구하라고 하였습니다.
OR백터는 우리가 알고 있습니다. 그러면 저희는 OZ백터만 고려하면 됩니다.
OR벡터와 OZ벡터의 내적을 수식적으로 사용할 수도 있지만, 저희는 문제에서 시킨 대로(발문대로) 이미 그림을 그렸습니다.
그래서 내적의 기하학적인 의미를 이용하는 것이 의도에 더 타당합니다.
두 벡터의 내적은 한 벡터를 다른 벡터에 정사영 시킨 다음 두 벡터의 크기를 곱한 것과 같습니다.
(왼쪽의 그림과 같습니다)
OR벡터는 저희가 이미 알고 있으므로, OR벡터를 가만히 둔 채 OZ벡터를 OR벡터에 정사영시킨 벡터를 고려해보면 됩니다.
그러면 그림과 같이 최소가 되는 Z의 위치와 최대가 되는 Z의 위치가 나오게 됩니다. Z를 OR에 정사 영시 킨 벡터의 크기를 구하는 것도 수식이 필요한 것이 아니라, 45도라는 각도를 이용해 OR에 정사영시킨 OZ의 최솟값 = 2
OR에 정사영시킨 OZ의 최댓값 = 5 루트 2라는 값이 별도의 수식 없이 나오게 됩니다.
그러므로 답은 OR벡터의 크기 2 루트 2에 OR에 정사영시킨 OZ의 최솟값 2, OR에 정사영시킨 OZ의 최댓값 5 루트 2를 더해서 곱해주면 20 + 4 루트 2가 나오게 됩니다.
그래서 답은 24입니다.
문제를 설명하느라 말이 길어졌지만, 발문의 순서대로 그림을 그리고 숫자 2라는 힌트를 통해 P라는 점과 Q라는 점을 간단하게 잡으면 그리 어렵지 않게 풀리는 문제였습니다.
이제 30번을 풀어보겠습니다.
30번 문제에서도 역시 숫자가 힌트가 됩니다. 발문을 읽으면, 복잡해 보이지만 보라색 부분을 그림으로 해석하면 아래의 그림 2처럼 나타낼 수 있습니다. 저희가 눈여겨볼 부분은 적분식입니다.
적분식에 앞에서 보았던 2개의 숫자(3 루트 2, 5 루트 3)가 적분 구간으로 나타나 있습니다. 즉, 처음에 주어졌던 y의 값이 x값(적분 구간)에 나타나 있으므로 저희는 당연히 역함수를 떠올릴 수 있습니다.
(구간이 나누어져 있기 때문에, 각 구간의 함수에 대해서는 증가함수이거나 감소 함수이기 때문에 역함수가 존재해서 저희는 사용할 수 있습니다.)
그래서 처음의 조건으로 a b를 구해보면 아래와 같이 나옵니다.
- 그림 2
그런 다음 Cn을 해석해보면 저희는 이해하기 쉽게 1부터 n의 값에 1부터 넣을 것입니다.
그리고 이를 계산해보면 위와같이 계산됩니다. 이제 저희는 n에 2를 넣었을 때를 고려해볼 것입니다. 그런데 저희가 계산한식에서 2만 넣어봅시다. 그러면 그 결과는 오른쪽 아래와 같은 결과가 나옵니다. 왜냐하면 주기가 2pi이고 사인 함수이기 때문에 pi/2마다 대칭이기 때문이죠.
그래서 저희가 구하는 C1부터 C101까지의 합은 C1과 C2가 서로 상쇄가 되므로, C100까지는 모두 0이 된다는 것을 알 수 있습니다. 그래서 C1~C101까지의 합은 C1의 값이 됩니다.
그러므로 정답은 17/3에서 19/3을 더한 36/3인 12가 정답이 됩니다.
그래프도 이상해 보이고 수열도 뭔가 어렵게 써놓았지만, 발문에 주어진 숫자의 힌트를 따라 역함수라는 힌트를 떠올리면 그렇게 어렵지 않은 문제였습니다.
항상 출제자들은 문제풀이 순서대로 문제를 만들며 그 힌트를 문제 속에 넣어둡니다. 그래서 그것을 잘 파악하는 것이 문제 해결의 키가 되며, 킬러 문제인 21번, 29번, 30번 문제일수록 숫자에 힌트를 넣는 경우가 많으므로 문제를 읽으면서 숫자를 눈여겨보셔야 합니다.
물론 그 힌트를 잘 파악하기 위해서는 많은 문제를 풀어야 하며, 개념이 숙지된 상태여야 합니다.
지금까지 2020학년도 6월 고3 평가원 모의고사 수학 가형 킬러 문제 풀이를 마치겠습니다.
나머지 문제풀이(29,30 포함)는 영상으로 봐주시면 됩니다.(영상 찍는데 처음 찍으니깐 거의 3, 4시간이 걸리네요.. ㅠㅠ)
19번까지입니다.
20 ~ 28번(25분 30초까지 보시면 됩니다.)
29 30번입니다.
(영상을 처음 올려서 문제랑 같이 보는 법을 아직 모릅니다. ㅠㅠ 공부 열심히 해서 영상이랑 문제를 같이 볼 수 있게 만들어 빠른 시일 내로 수정해서 올리겠습니다.)
다른문제 풀이를 원하시는분은 댓글남겨주시면 최대한 빨리 업로드해드리겠습니다.
읽어주셔서 감사합니다.
2020 고3 대학수학능력시험 6월 모의고사 수학 가형 21번 풀이입니다.
모의고사 - 2020 고3 대학수학능력시험 6월 모의평가(모의고사) 수학 가형 21번 풀이
안녕하세요. 푸디헬스입니다. 2019년 6월 4일 화요일 한국교육과정평가원의 주관하에 2020 고3 대학수학능력시험 6월 모의평가가 치러졌습니다. 1등급 컷은 89점으로 중상위권 변별이 아주 잘 된 시험이었습니다...
foodiehealth.tistory.com
댓글