2019 9월 수학가형 21번(고3 대학수학능력시험 9월 모의평가 : 모의고사)

안녕하세요. 푸디헬스입니다.

2018년 9월 5일 수요일 평가원이 주관한 대학수학능력시험 9월 모의평가입니다. 21번 문제의 오답률은 83%를 차지했습니다. 킬러 문제에 비하면 그리 높지 않은 오답률이었습니다. 그럼 문제를 풀어보겠습니다.

언뜻 봤을 때 발문이 어려워 보입니다. 하지만 문제 출제진분들께서 사고과정 순서대로 문제를 냈기 때문에 발문의 순서대로 문제를 풀기만 하면 됩니다. 가장 먼저 0이 아닌 세 정수 $l, m, n$에 대해 $|l|+|m|+|n| \le10$이라고 하였습니다. 여기서 저희가 할 수 있는것은 없으니 그렇구나 하고 넘어갑니다.

그러고 나서 연속함수 $f(x)$값이 주어지고 $f'(x)$에관한 식이 나옵니다.

발문에서 연속함수 $f(x)$라고 하였습니다. 그러면 저희는 당연히 연속함수의 정의인 부드러운 함수라는 게 떠오를 것입니다. 그러므로 자연스럽게 주어진 $f'(x)$를 적분해봅니다.

그러면 $f(x)$는 다음과 같이 됩니다.

$f(x) = lsin(x) + C_1(0<x<\frac{\pi}{2})$

$f(x) = msin(x) + C_2(\frac{\pi}{2}<x<\pi)$

$f(x) = nsin(x) + C_3(\pi < x < \frac{3\pi}{2})$

여기서 문제에서 주어진 조건 $f(0) = 0, f(\frac{3\pi}{2}) = 1$을이용합니다.

$f(0) = lsin(0) + C_1 = C_1 = 0$

$f(\frac{3\pi}{2}) = ncos(\frac{3\pi}{2}) + C_3 = -n + C_3 = 1$

$C_3 = n+1$

그러고 나서 연속함수를 임을 이용해 양끝 값을 $f(x)$에 넣습니다.

$lsin(\frac{\pi}{2}) + C_1 = msin(\frac{\pi}{2}) + C_2$

$l = m + C_2$

$msin(\pi)+C_2 = nsin(\pi) + C_3$

$C_2 = C_3$

이므로 결론적으로 $C_2 = C_3 = n+1$이되고 $l =m + n+1$이 됩니다. 그러면 $f(x)$는 다음과 같이 됩니다.

$f(x) = lsin(x) ( 0< x< \frac{\pi}{2})$

$f(x) = msin(x) + n + 1 ( \frac{\pi}{2} < x< \pi)$

$f(x) = nsin(x) + n + 1 ( \pi < x< \frac{3\pi}{2})$

그리고 나서 다음 발문을 보겠습니다.

발문에 $f(x)$의 적분에 대한 값을 물어봤으므로 $f(x)$의 그래프를 그려보겠습니다.

그러면 이와 같이 그래프가 그려집니다. ( 넓이를 구할 때 검은선은 직사각형으로 계산했습니다.)

발문에서 $\int_0^{\frac{3\pi}{2}} f(x)dx$를 물어봤으므로 넓이를 계산해 보겠습니다. 그런데 $sin(x)$의 $0$에서 $\frac{\pi}{2}$까지의 넓이는 $1$이됩니다.(외워두시면 편합니다.)

그러므로 $asin(bx)$의 $0$에서 $\frac{\pi}{2}$까지의 넓이는 $\frac{a}{b}$가 됩니다.

이것을 이용하면 $\int_0^{\frac{3\pi}{2}} f(x)dx$ = $l$ + $m + \frac{\pi}{2}(n+1)$ + $(n+1)\frac{\pi}{2}-n$

(n은 봉우리의 넓이입니다.)

$l =m + n+1$이므로

$l$+$m + \frac{\pi}{2}(n+1)$+$(n+1)\frac{\pi}{2}-n$ = $m + n + 1$+ $m + \frac{\pi}{2}(n+1)$+$(n+1)\frac{\pi}{2}-n$ = $2m + n\pi + \pi + 1$이 됩니다.

이 값이 최대가 되야하므로 처음에 주어진 범위를 이용합니다.

$l =m + n+1$를 대입하면 $|m+n+1| + |m| +|n| \le 10$이되고 $2m + n\pi + \pi + 1$이 최대가 되려면 $m$과 $n$이 양수이어야 합니다. 그러므로 $|m+n+1| + |m| +|n|$ = $2m+2n+1 \le 10$이되고 $2m + n\pi + \pi + 1$서 $\pi$가 $2$보다 크므로 $n$의값이 가장커야 $2m + n\pi + \pi + 1$값이 최대가 됩니다.

정리하면 $2m + 2n \le 9$에서 $n$의 값이 가장 크고 $m$은 0이되면 안되므로

$n =3, m = 1, l = m+n+1 = 5$가됩니다.