2020 9월 수학가형 30번(고3 대학수학능력시험 9월 모의평가 : 모의고사)

2020_고3_9월모의평가_수학 가형.pdf

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2020_고3_9월모의평가_수학가형_답지.pdf

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2019년 9월 4일 수요일 평가원의 주관하에 2020 고3 대학수학능력시험 9월 모의평가가 치러졌습니다. 수험생분들의 체감상 이번 모의고사는 다소 어렵지 않다는 의견이 많아, 이번 수능은 쉬울 것이라는 분석이 있습니다. 하지만 6월, 9월 모의고사(모의평가)는 수능을 위해 수험생들의 수준을 파악하는 것이므로, 수험생분들의 체감상 쉬웠다면, 수능에는 난이도를 올릴 수도 있습니다. 수능의 난이도는 어떻게 나올지 아무도 모르니, 수험생분들께서는 공부를 하실때 수능이 어려울 때를 가정하고 공부를 하시는 게 맞습니다.

그럼 2020 고3 대학수학능력시험 9월 모의평가 30번을 풀어보겠습니다.

발문을 읽어보면 별다른 조건없이 깔끔합니다. 실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여

$f'(x^2+x+1) = \pi f(1)sin(\pi x) + f(3)x$ + $5x^2$이라고 하였습니다. 

$f'(x^2+x+1)$의 괄호 안이 이차함수이므로 똑같은 함수값이 2개씩 존재합니다. 그러므로

$x = 0$ 대입, $f'(1) = 0$

$x = -1$ 대입, $f'(1) = -f(3) + 5 = 0$임으로 ∴ $f(3) = 5$

($x=-1$을 넣어야 $x=0$을 넣었을때 같은 함숫값이 나옵니다.  $x^2+x+1$의 축은 $x=-\frac12$입니다.)

그러면 $f'(x^2+x+1) = \pi f(1) sin(\pi x) + 5x$ + $5x^2$이 나옵니다.

저희는 $f(7)$을 구해야하므로 자연스럽게 적분을 떠올립니다.

$x^2+x+1$을 미분하면 $2x+1$임으로 양변에 $2x+1$을 곱해주고 적분을 합니다.

$\int f'(x^2+x+1)(2x+1) dx$ = $\int \pi f(1)sin(\pi x)(2x+1) $+ $5(x^2+x)(2x+1) dx$

계산을 해주면

$f(x^2+x+1)$ = $f(1) \times (-(2x+1)cos(\pi x) +\frac{2}{\pi}sin(\pi x) )$+ $\frac52(x^2+x)^2 + C$ (C는 적분 상수)

저희는 $f(1)$을 구해야 하므로

$x=0$을 대입합니다. $f(1) = -f(1) + C$임으로 $2f(1) = C$가 됩니다.

그리고 $f(3) = 5$를 알고 있으므로

$x=1$을 대입합니다. $f(3) = 5 = 3f(1) + 10 + C$가나옵니다. 이제 이 두식을 연립하면

$f(3) = 5 = 3f(1) + 10 + 2(f1)$  $∴ f(1) = -1, C = -2$

이제 이것을 대입하면

$f(x^2+x+1)$ = $-(-(2x+1)cos(\pi x) +\frac{2}{\pi}sin(\pi x) )$+ $\frac52(x^2+x)^2 -2$가 되고

$f(7)$을 구해야 하므로 $x = 2$를 대입합니다.

$f(7) = 5 + 90 - 2 = 93$이 됩니다.

이번 30번 문제는 별다른 조건 없이 깔끔했던 것만큼, 계산만 실수하지 않으면 쉽게 풀리는 문제였습니다.

잘 이해가 가지 않거나 다른 문제의 풀이가 궁금하신 분은 댓글을 남겨주시기 바랍니다. 감사합니다.

 

 

2020 고3 대학수학능력시험 9월 모의고사 수학 가형 21번 풀이입니다.

모의고사 -2020 고3 대학수학능력시험 9월 모의평가(모의고사) 수학 가형 21번 풀이

 

2020 고3 대학수학능력시험 9월 모의고사 수학 가형 29번 풀이입니다.

모의고사 - 2020 고3 대학수학능력시험 9월 모의평가(모의고사) 수학 가형 29번 풀이