2019수능수학나형 29번 짝수형 문제풀이(대학수학능력시험)

2019 수능_수학 나형 짝수.pdf

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2019 수능 수학 답지.pdf

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2019 수능수학나형 29번 짝수형 문제풀이

2018년 11월 15일 목요일 시행

수학 나형 1등급 컷 88점(구분점수 130점) : 체감 삼 어려웠던 시험

오답률 2위 92%

출제영역 : 수열과 추론

평가원 모의고사, 수능은 발문이 풀이순서 입니다.

${a_n}$ : $a_1$이 자연수이고 공차 $d$는 음의 정수인 등차수열($a_n$의 모든항이 정수)

 

${b_n}$ : $b_1$이 자연수이고 공비 $r$은 음의 정수인 등비수열($b_n$의 모든항이 정수)

 

발문에서 $a_7 + b_7$을 구하라고 하였습니다. 조건 $가, 나, 다$를 빠르게 훑어보면 시그 마안에 절댓값이 있으므로 $a_n + b_n$자체를 구하는 것이 아니라는 것을 알 수 있습니다. 그러므로 저희는 $a_n$과 $b_n$을 각각 구해야 합니다.

그러므로 저희는 $a_n$또는 $b_n$에 관한 식을 얻기 위해서

 

조건 $(가)$ - $(나)$ = $b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5$ - $(|b_1| + |b_2| + |b_3| + |b_4| + |b_5|) = -40$

그런데 $b_n$은 첫째항이 자연수이고 공비가 음수이므로

$b_1, b_3, b_5$ 는 양수이고, $b_2, b_4$는 음수인 것을 알 수 있습니다. 그러므로

$(가) - (나)$ = $b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5$ - $(|b_1| + |b_2| + |b_3| + |b_4| + |b_5|)$ = $2(b_2+b_4) = -40$

$b_2 + b_4 =b_2(1 + r^2) =  -20$

그럼 $ r = -1, -2, -3$중 하나인데 ( $ r = -4$부터는 -20보다 작아지거나 정수의 곱으로 표현이 되지 않습니다.)

$r = -1, -2, -3$ 일 때

$b_2 = 10, -4, -2$이므로 $b_2 = -2$일 때는 $b_1 = \frac32$이 되므로 안됩니다.

또한 $b_2 = 10$일 때 $r = -1$이므로 $b_1 = b_3 = b_5 = 10$이고 $b_2 = b_4 = -10$이 되어

조건 $(가)$에서 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 5 a_3 = 17$이 되어 $a_3$가 분수가 되어 조건이 맞지 않습니다.

그러므로 공비 $r = -2$가 되고 이때 $b_2 = -4$가 되어 야 하만 합니다.

그럼 $b_1 = 2, b_2 = -4, b_3 = 8, b_4 = -16, b_5 = 32$가 되고 조건 $(가)$에서

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 5 a_3 = 5$가 되어 $a_3 =1$이 됩니다. 그러면 $a_4$부터 음수가 됩니다.

 

조건 $(다) - (나) = \sum_{n=1}^5 (|a_n|-a_n)$ =$-2(a_4 + a_5) = 14$

$a_4 + a_5 = -7 = (a_3 + d) + (a_3 + 2d)$ = $2 + 3d$

$d = -3$이 됩니다. 그러므로

$a_7 = a_3 + 4d = 1 -12 = -11$

$b_7 = b_5 \times 4 = 32 \times4 = 128$

$a_7 + b_7 = 117$이 됩니다.

 

 

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