2019수능수학나형30번 짝수 문제풀이(대학수학능력시험)

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2019 수능수학나형 30번 짝수 문제풀이

2018년 11월 15일 목요일 시행

수학 나형 1등급 컷 88점(구분점수 130점) : 체감상 어려웠던 시험

오답률 1위 97%

출제영역 : 삼차함수, 추론 문제

언제나 그렇듯 평가원 모의고사, 수능 문제풀이는 발문 순서대로입니다.

발문 조건 $(가)$까지 읽으면 최고차항이 1인 삼차함수 $f(x)$는 $(0,0)$에서의 접선이 $x$축이고, 최고차항이 -$1$인 이차함수 $g(x)$는 $(2,0)$에서 접선이 $x$축이므로

$f(x) = x^2(x-k)$

$g(x) = -(x-2)^2$

그러고 나서 조건 $(나)$에서 점 $(2,0)$에서 $f(x)$에 그은 접선의 개수는 2개이고, $(다)$에서는 $f(x) = g(x)$는 오직 하나의 실근을 가진다고 하였습니다.

조건 $(나)$부터 고려해보면, $f(x)$에 접선의 개수를 2개 그을 수 있는 곳은 그 점이 $f(x)$위에 있거나, $f(x)$의 변곡점에서의 접선 위의 점이 되어야 합니다. 아래의 그림처럼 말이죠.

그러므로 점 $(2, 0)$이 $f(x)$위일 때를 계산해보면 

$f(x) = x^2(x-k)$

$0 = 4(2-k)$이므로 $k = 2$

$f(x) = x^2(x-2)$가 되어 $g(x)$와 2점에서 만나 조건 $(다)$의 $f(x) = g(x)$는 오직 하나의 실근을 가진다에 모순이 됩니다.

그러므로 $(2, 0)$은 $f(x)$의 변곡점에서의 접선 위의 점이 되어야 하는데, 그러면 

$f(x) = x^3$이 되어야 한다는 것을 계산 없이 알 수 있습니다. $x^3$는 변곡점이 $(0, 0$이고 거기서의 접선이 $x축$이 나온다는 것은 수험생이라면 누구나 알고 있을 테니까요. 그러므로

$f(x) = x^3$

$g(x) = -(x-2)^2$이 됩니다.

 

마지막 발문에서 $g(x)$와 $f(x)$사이의 $(0, -2)$를 $y절편$으로 가지고 기울기가 $k$인 직선의 $k$의 최대 최소를 구하라고 하였으므로, 그림으로 나타내면 아래와 같이 됩니다.

그래서 기울기를 구해보면, 

$f(x) = x^3, g(x) = -(x-2)^2$

$f'(x) = 3x^2, g'(x) = -2(x-2)$

기울기가 최대일 때 접점을 $(p, p^3)$이라고 하면,

$y = 3p^2(x-p) + p^3$이 되고 $(0, -2)$ 대입

$-2 =-3p^3 + p^3 = -2p^3$이 되어 $p =1$이 되고 그때 기울기 $k_{max} = \alpha = 3$이 됩니다.

 

기울기가 최소일 때 접점을 $(t, -2(t-2)^2)$이라고 하면,

$y = -2(t-2)(x-t) -(t-2)^2$이되고 $(0, -2)$ 대입

$-2 = -2(t-2)(-t) -(t-2)^ = t^2-4$가 되어 $t^2 = 2$가 되어 $t = \sqrt2$가 되고 그때 기울기 $k_{min} = \beta= -2(\sqrt2-2)$가 됩니다.

$\alpha - \beta = 3 -2(\sqrt2-2) = 2\sqrt2-1 = a + b\sqrt2$

$a = -1, b = 2$

$a^2 + b^2 = 5$가 됩니다.

항상 발문의 순서대로 문제풀이를 푸는 습관을 가지시길 바랍니다. 감사합니다.

 

 

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