2020 6월 수학나형 29번 짝수형(고3 대학수학능력시험 6월 모의평가 : 모의고사)

2020_고3_6월모의고사_수학나형.pdf

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2020_고3_6월모의고사_답지.pdf

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2019년 6월 4일.

오답률 80%로 3위를 차지했습니다.

출제영역 :  중복조합 

항상 그렇듯이 평가원(6월, 9월 모의고사, 수능) 문제는 발문 순서대로 풀면 쉽게 풀립니다. 그게 의도이고요.

조건 $(가)$

$n = 1, 2$ 대입하면

$x_2 - x_ 1 \ge 2$ 정리하면  $x_2 \le 2 + x_1$

$x_3 - x_ 2 \ge 2$ 정리하면  $x_3 \le 2 + x_2$

$x_3 \le 10 $ ( ∵ 조건 $(나)$ )

그럼 조건 $(가)$와 조건 $(나)$에 동시에 등장하는 $x_3$로 부등식을 만들 수 있습니다. 

$ 4 \le 4 + x_1 \le 2 +x_2 \le x_3 \le 10 $

 

 

• 중복 조합 문제를 풀 때 알아야 할 사전 지식.

음이 아닌 정수 $x_1, x_2, x_3$일 때 $x_1 + x_2 + x_3 = 5$의 모든 순서쌍 $(x_1, x_2, x_3)$의 개수는 $ 1 \le a \le b \le c \le d \le e \le 3$랑 같습니다. 여기서 중요한 것은 부등식의 양끝인 1과 3입니다.

즉 저기 부등식 사이의 개수가 $x_1 + x_2 + x_3 = 5$에서  $x_1, x_2, x_3(3개)$와 같은 문자 개수를 의미합니다. 

또한 문자 $a, b, c, d, e$(문자의 개수 5개)가 $x_1 + x_2 + x_3 =5$에서 숫자 5를 의미합니다. 즉

$ 11 \le a \le b \le c \le d \le e \le 13$의 개수와

$ 1 \le a \le b \le c \le d \le e \le 3$의 개수와

$ 1 \le x_1+1 \le x_2+2 \le x_3+3 \le 3$의 개수와  

$x_1 + x_2 + x_3 = 5$의 개수는 $_3 H_5$로  모두 같습니다.

( 그 이유는 $ 1 \le a \le b \le c \le d \le e \le 3$일때 $a$부터 $e$까지 1만 넣어보시면 쉽게 이해하실 수 있습니다. $a = 1, b =1, c = 1, d = 1, e = 1$이면 1의 개수가 5개입니다. 즉 여기서 1이 $x_1$에 대응됩니다. 그래서 $x_1 + x_2 + x_3 =  = 5 + 0 + 0 = 5$를 만족시킵니다. 즉 이경우에 $숫자1 = x_1, 숫자2 = x_2 = 숫자3=x_3$에 대응됩니다. 

 

 

그럼 문제로 돌아가보겠습니다. 조건을 정리하면

$ 4 \le 4 + x_1 \le 2 +x_2 \le x_3 \le 10 $이와 같은 부등식이 나오므로

10과 4 사이에 있는 숫자는 $10 - 4 + 1 = 7$

그 사이에 문자는 $4+ x_1, 2 + x_2, x_3$ 총 3개이므로 이 부등식은

$a + b + c + d + e + f + g = 3$( 각 문자는 음이 아닌 정수)을 만족하는 순서쌍 개수를 구하는 것과 같습니다.

그럼으로 정답은 $_7 H_3 = _9 C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2} = 84$가 됩니다. 

중복 조합 문제는 수능에 나올 확률이 매우 높으므로 꼭 알아두시고 넘어가시길 바랍니다. 감사합니다.

 

2020 고3 6월 모의고사 수학 나형 21번 문제풀이

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