안녕하세요. 푸디헬스입니다.
우리나라 수험생분들이라면 수능을 보기 전에 과거 수능 및 모의평가(모의고사) 문제들을 모두 풀어보셨을 겁니다. 수능을 보기 전에 시간이 남는 수험생분들 또는 평가원 기출문제를 너무 많이 풀어 지겨운 수험생분들은 학원에서 만든 사설 모의고사도 풀어보셨을 거라고 예상됩니다. 하지만 저는 수능 공부를 하시는 수험생분들께는 평가원 기출문제만 푸는 것이 더 좋다고 생각합니다.(제 생각입니다. 사설 모의고사를 풀지 말라는 얘기가 아닙니다.) 그 이유는 간단합니다. 평가원 모의고사 문제들(6월 모의평가, 9월 모의평가, 대학 수학능력시험 : 일명 수능)의 퀄리티가 사설 모의고사보다 훨씬 좋기 때문입니다. 문제를 해석하는 방식이 참신하며, 문제 풀이가 깔끔하고, 조건을 제시하는 표현의 언어도 아름답습니다. 그에 비해 사설 모의고사는 평가원 문제를 흉내 낸 것이거나 명확한 근거 없이 접근하는 풀이가 대부분이기 때문입니다.(제 견해입니다.)
평가원 모의고사를 푸는 것이 수험생에게 도움이 되는 가장 큰 이유는 평가원 문제를 내는 출제진들이 수험생들에게 원하는 문제 접근방식을 수험생들이 문제를 풀면서 체감할 수 있기 때문입니다. 그래서 기출문제를 다 푼 수험생분들께서는 다른 사설 모의고사를 푸는 것보다는, 새로운 시각(순수한 마음으로)으로 기출문제를 분석하면서 문제풀이 접근방식을 이해하는 것이 많은 도움이 될 거라고 생각합니다. 사설이 길었습니다.
2018 고3 9월 모의고사 수학 가형 29번 오답률은 84%, 30번은 90%로 수험생분들이 어렵지 않게 풀었다는 것을 알 수 있습니다. 하지만 1 등급컷은 91점으로 4점짜리 2문제를 틀려도 1등급이 나오는 좋은 시험이었습니다.(사람은 누구나 실수를 하기 때문에 실수를 해도 1등급이 나오는 시험이 문제를 잘 낸 시험입니다. 보통 2문제를 틀리면 1등급이 나오는 시험이 잘 낸 시험입니다.)
그럼 문제를 풀어보겠습니다.
29번입니다.
제가 늘 강조하듯이, 발문은 매우 중요합니다. 그래서 발문을 읽는 순서가 문제풀이 순서가 되므로, 발문을 읽으면서 그 순서대로 문제풀이를 떠올리는 사고력을 키우는 것이 중요합니다.
그럼 발문을 읽으면서 문제를 풀어보겠습니다.
발문을 읽으면 점 A와 평면 z = 1이 나옵니다. 발문이 시킨 대로 저희는 좌표평면에 표현을 할 겁니다.
이렇게 그림으로 표현하면 한눈에 이해하기 훨씬 쉽습니다. 이 z = 1 평면 위에 점 P1, P2, P3가 존재하고 OA벡터와의 내적 값이 일정한 값(11/3, 1, -7/4)을 이룹니다. 저 조건을 보고 그림으로 나타내기에는 복잡해 보이니 그다음 발문을 읽어보겠습니다.
평가원 모의고사(수능, 6, 9월 모의고사)에는 숫자가 힌트가 되는 경우가 많고, 특히 킬러 문제일수록(21, 29, 30번) 그럴 확률이 더 높다고 저번 포스팅 때부터 말씀드렸습니다. 저희는 항상 0이라는 숫자를 눈여겨보아야 합니다. 다른 숫자들도 있는데 왜 하필 0일까요?
점 (0, k, 0)을 지나고 방향벡터가 (1, -6, 0)인 직선을 문제에서 제시했고 문제에 xy평면이라고 명명되어있습니다. 그러니 저희는 당연히 xy평면을 떠올리고 xy평면에 그림을 그릴 것입니다.
그러고 나서 발문을 더 읽어보니, 세 점 P1, P2, P3를 xy평면에 수선의 발을 내립니다.
이 문제를 풀 때 한 가지 사전 지식이 있으면 편리합니다. 그것부터 알려드리겠습니다.
두 벡터의 내적을 구할 때, 내적의 의미는
수식적으는 각 벡터의 크기의 곱에다가 cos(두 벡터가 이루는각)을 곱하는 것이고,
기하학적으로는 한 벡터(OB)를 다른 벡터(OA)에 정사 영시 켜, 정 사영된 벡터(OB'')와 나머지 벡터(OA)의 크기를 곱하는 것입니다.(제가 설명드릴 내용입니다.)
위 그림을 보시면 쉽게 이해가 되실 것입니다. OB벡터를 OA벡터가 있는 평면에 정사영시킨 다음, OB'벡터를 다시 OA벡터에 정사 영시 킨 OB''벡터가 됩니다. 이 OB''벡터는 OB벡터를 OA벡터에 바로 정사영시킨 벡터와 정확히 일치합니다. (삼수선 정리 때문이죠.) 자 그럼 문제로 돌아가 보겠습니다.
위 내용을 알고 있다면, 세 점 P1, P2, P3를 xy평면에 수선의 발을 내린다고 했을 때, 당연히 모든 문제를 xy평면에 그릴 것입니다. 그 이유는 위의 지식을 이용하기 위함도 있고, 위 지식을 모른다고 하더라도 문제에서 너무나도 명확하게 문제 풀이의 방향성을 제시하고 있습니다. 모든 조건을 xy평면에서 해결하라고 말이죠. 그래서 이를 xy평면에 나타내 보겠습니다.
가장 먼저 A'를 xy평면에 나타낸다음 OA'벡터를
y = -6x + k(파란색)와 비교해보면 서로 수직인 것을 알 수 있습니다. 여기서 기울기를 보는 것은 너무나 당연합니다.
xy평면에 존재하는 것은 y = -6x + k라는 직선과 A라는 점만 존재하기 때문이죠.
그리고 k는 문자이기 때문에 당연히 기울기인 -6에 눈이 가게 되고 이는 A'와 비교하게 됩니다.
문제에서 P1, P2, P3를 xy평면에 수선의 발을 내렸을 때의 조건을 제시했으므로, 위의 사전 지식을 적용하면
OA벡터와 OP1벡터의 내적을 OA'벡터와 OP1벡터의 내적으로 바꾸어 생각합니다.
저희는 P1의 자취를 구하기위해 너무나도 당연하게 점 P1을 (x, y)로 잡을 것입니다.(너무나도 당연합니다. 자취가 궁금하고 저희는 P1의 자취를 모르기 때문에 문자 x, y로 두는 것이 당연하고, 발문에서 xy평면으로 명명되어있는 것도 모두 수험생들을 위한 힌트입니다.)
그럼 OA벡터 내적 OP1벡터 내적의 값 = 11/3라는 조건은 y = -6x + 22/3이 됩니다. 기울기가 -6이 됩니다.
이제 이 세조건을 xy평면에 표시하면 검정색 직선의 방정식이 됩니다.
그럼 이제 발문에서 원하는 것은 P1, P2, P3가 파란색 직선을 기준으로 한 영역에 모두 존재할 때의 양의 정수 k의 최소와 음의 정수 k의 최대를 원하는 것이므로, 이를 그림으로 나타내면 이와 같이 됩니다.(필요한 것만 그리면)
P1, P2, P3가 파란색 직선의 한 영역에 모두 존재해야 하므로 양의 정수 k의 최솟값 m = 8이 되고, 음의 정수 k의 최댓값 M = -4가 되어 m - M = 12가 됩니다.
발문에 주어진 힌트를 토대로(0과 같은 숫자, xy평면 같은) 조건을 해석하면 쉽게 풀리는 문제였습니다. 그럼 다음 문제를 풀어보겠습니다.
30번입니다.
발문에서 f(x)의 최고차 항의 계수와 최솟값 그리고 차수를 알려주었습니다. 그리고 난 뒤 g(x)를 알려주었고, 합성함수 h(x)의 조건을 제시하였습니다. 합성함수 h(x)에 g(x)가 f(x)의 x로 들어가 있으므로 g(x)를 가장 먼저 그려보겠습니다.
그리고 사차함수 f(x)의 최솟값이 0이라고 하였으므로, f(x)는 적어도 하나의 봉우리가 있습니다.
그리고 조건 (가)를 살펴보겠습니다.
조건 (가)와 위의 조건을 결합시키면, f(x)의 봉우리는 2개가 나와야 합니다.
f(x)의 최소 봉우리가 1개라면 h(x) = 0의 서로 다른 실근의 개수는 4개가 나올 수 없기 때문입니다.
그래서 f(x)의 봉우리는 2개이며 모양은 2가지로 추려볼 수 있습니다.(h(x) = 0의 서로 다른 실근의 개수가 4개이기 때문입니다.)
조건 (나)를 살펴보겠습니다.
문제에서 h(x)는 x = 0에서 극소라고 표현했습니다. 저희는 여기서 h(x)가 극소인지만 판단하면 됩니다. 즉 x = 0 근처에서의 값인 x가 0보다 조금 작을 때와 x가 0보다 조금 클 때의 값만 살펴보면 된다는 의미입니다. 영상으로 설명드리겠습니다.
마지막 조건 (다)입니다.
h(x) = 8의 실근의 개수가 6이라고 하였으므로 실근의 개수를 조사하면 됩니다. 그러면 이와 같이 그릴 수 있습니다.
여기서 f(x) = 8에서 x가 음수가 되는 값은 고려하지 않습니다. 그 이유는 g(x) 그래프가 항상 양수이기 때문입니다.
그러므로 빨간 선일 때, 즉 f(x)의 극댓값 = 8일 때 조건 (다)를 만족시킵니다.
f(x)에서 x의 극댓값이 되는 x의 값은 alpha/2이므로 이를 계산하면 alpha = 4가 나옵니다.
f(5) 미분 값을 구하라고 하였으므로 계산하면 정답은 30이 나옵니다.
오답률이 높지 않았던 문제였던 것만큼 그리 어렵지 않은 문제였습니다. 하지만 여기서 중요한 것은(오답률이 아니라, 문제의 난이도가 아니라) 발문을 읽고 문제에 어떻게 접근할 것인가입니다. 수학을 잘하는 사람은 많습니다. 하지만 우리 모두가 범인이 아니기 때문에, 모두가 수학을 잘할 수는 없습니다. 그래서 평가원 출제진들은 문제풀이 순서대로 발문을 만들고, 발문의 표현의 언어로 문제풀이에 필요한 것들만 명시합니다. 수험생들이 해야 할 것은 최대한 많은 문제를 풀어보는 것이 아니라, 출제진들의 문제(평가원 문제, 6월, 9월, 수능 모의고사)를 풀고(읽고) 그들의 의도를 파악해서 비교적 간단하게 푸는 것입니다.
지금까지 2018 고3 9월 모의고사 풀이였습니다.
읽어주셔서 감사합니다.
2019 고3 9월모의고사 수학 가형 21번
모의고사 - 2019 고3 대학수학능력시험 9월 모의평가(모의고사) 수학 가형 21번 풀이
안녕하세요. 푸디헬스입니다. 2018년 9월 5일 수요일 평가원이 주관한 대학수학능력시험 9월 모의평가입니다. 21번 문제의 오답률은 83%를 차지했습니다. 킬러 문제에 비하면 그리 높지 않은 오답률이었습니다...
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