2020 9월 수학가형 29번 (고3 대학수학능력시험 9월 모의평가 : 모의고사)

2020_고3_9월모의평가_수학 가형.pdf

0.59MB

2020_고3_9월모의평가_수학가형_답지.pdf

0.04MB

안녕하세요. 푸디헬스입니다.

2019년 9월 4일 수요일 평가원이 주관하에 대학 수학능력시험 9월 모의평가가 치러졌습니다. 9월 모의평가가 중요한 지표가 되긴 하지만, 언제까지나 수능의 난이도 조절을 위한 시험에 불과합니다. 이제 수능 출제진들은 6, 9월 모의평가의 결과를 토대로 수능 문제를 출제할 것입니다. 그러니 시험의 결과가 좋든 좋지 않든 중요한 것은 수능이라는 것을 명심해야 합니다. 그럼 앞으로의 수능을 위해 수험생분들이 해야 하는 것은 기출문제들을 출제진들의 의도에 따라 분석하는 것입니다. 그리고 그 분석은 발문의 단어(표현의 언어)로부터 출제진의 의도를 파악하고 그 순서대로 문제를 푸는 것입니다.

그럼 2020 고3 대학 수학능력시험 9월 모의평가 수학 가형 29번 풀이를 해보겠습니다.

2019년 9월 4일 수요일 평가원이 주관한 대학수학능력시험 9월 모의평가입니다.

발문에서 $A(4, 0, 0)$과 평면 위의 점 $P$라고 했습니다. 킬러 문제에서 숫자도 힌트가 됩니다. 그러므로 점 $A$의 $0$이라는 숫자는 주의 깊게 봐야 하며 평면 위의 점이라고 언급하였으므로 이 조건은 나중에 꼭 쓰일 것입니다. 지금 할 수 있는 것은 없으니 다음 발문으로 넘어가겠습니다.

조건 $(가)$에서 $|\vec{OP}| \le9$이하의 자연수라고 하였고, $나$에서 $\vec{OA}\cdot\vec{AP} = 6$이라고 하였습니다. 조건 $(가)$에서 $\vec{OP}$가 언급되었으므로, $(나)$의조건을 $\vec{OP}$를 이용해 식을 바꾸어줍니다.

$\vec{OA} \cdot \vec{AP}$ = $\vec{OA} \cdot (\vec{OP}-\vec{OA})$ = $\vec{OA} \cdot \vec{OP} - \|\vec{OA}^2|$ = $\vec{OA} \cdot \vec{OP} -16 =  6$ ($\vec{OA} = (4,0,0)$)

$\vec{OA} \cdot \vec{OP} = 22$

평면 위의 점이라고 언급하였으므로 점 $P$를 $(x, y, z)$라고 하면

$\vec{OA} \cdot \vec{OP} = (4, 0, 0,) \cdot (x, y, z) = 22$임으로 $x = \frac{22}4 = \frac{11}2$이 됩니다.

그러므로 점 $P$는 $(\frac{11}2, y, z)$가됩니다.

 

 

그러고 나서 다음 발문을 보겠습니다.

$\vec{AP} \cdot \vec{OP}$의 최대, 최솟값을 구하는 것이므로, $A(4, 0, 0)$ $P(\frac{11}2,y,z)$

$\vec{AP} \cdot \vec{OP}$ = $(\frac{11}2-4, y, z) \cdot (\frac{11}2, y, z)$ = $\frac{33}4 + y^2 + z^2$ 값의 최대최소를 구하면 됩니다.

점 $P(\frac{11}2, y, z)$는 평면($x + y + \sqrt{2}z= 0$) 위의 점이므로 $\frac{11}2 + y + \sqrt{2}z = 0$을 만족합니다.

그러므로  $\frac{11}2 + y + \sqrt{2}z = 0$을 만족하면서 $y^2+z^2$값이 최대 최소인 값을 구하면 되는데,

조건 $(가)$에서  $|\vec{OP}| \le9$이하의 자연수라고 하였으므로,

$|\vec{OP}| = \frac{121}4 + y^2 + z^2  = 81, 64, 49, 36 ...$이와같은 값을 가집니다.

$y^2+ z^2 = 50.75, 33.75, 18.75, 5.75$의 값밖에 가지지 못합니다.

$\frac{11}2 + y + \sqrt{2}z = 0$을 만족해야 하므로 $y^2 + z^2$($(y,z)$와 원점(0,0)사이의 거리)의 값이 

$\frac{11}2 + y + \sqrt{2}z = 0$과 원점 $(0,0)$의 거리 = $\frac{\frac{11}{2}}{\sqrt3} = \frac{11}{\sqrt{12}} =  10.$xx보다 커야 합니다.

그러므로 $y^2+z^2= 50.75, 33.75, 18.75$의 값밖에 가지지 못하고

$\vec{AP} \cdot \vec{OP}_{Max}$ = $(\frac{11}2-4, y, z) \cdot (\frac{11}2, y, z)$ = $\frac{33}4 + y^2 + z^2$ = $\frac{33}4 + 50 + \frac34$($50.75 = 50 + \frac34$) = $59 = M$

$\vec{AP} \cdot \vec{OP}_{Min}$ = $(\frac{11}2-4, y, z) \cdot (\frac{11}2, y, z)$ = $\frac{33}4 + y^2 + z^2$ = $\frac{33}4+18 + \frac34$($18.75 = \frac34$) = $27 = m$

임으로 $M + m = 59 + 27 = 86$이 됩니다.

발문에 근거해 문제를 풀면 그리 어렵지 않은 문제였습니다.

잘 이해가 가지 않거나 다른 문제의 풀이가 궁금하신 분은 댓글을 남겨주시기 바랍니다. 감사합니다.

 

2020 고3 대학수학능력시험 9월 모의고사 수학 가형 21번 풀이입니다.

모의고사 -2020 고3 대학수학능력시험 9월 모의평가(모의고사) 수학 가형 21번 풀이

2020 고3 대학수학능력시험 9월 모의고사 수학 가형 30번 풀이입니다.

모의고사 - 2020 고3 대학수학능력시험 9월 모의평가(모의고사) 수학 가형 30번 풀이