2019 수능수학가형 21번 짝수형 문제풀이(대학수학능력시험)

2019 대학수학능력시험 수학 가형_짝수.pdf

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2019 대학수학능력시험 수학 답지.pdf

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안녕하세요. 푸디헬스입니다.

2019학년도 수능은 2018년 11월 15일 목요일 한국교육과정평가원의 주관하에 치루어졌으며, 1등급은 구분점수 126점, 2등급은 구분점수 123점, 3등급은 구분점수 117점입니다. 원점수로 환산하면 1등급은 85점, 2등급은 77점, 3등급은 68점 정도로 체감난이도가 높았던 시험이었습니다. 2019 수능 수학 오답률 1위는 30번(미분법) 오답률 95%, 2위는 29번(평면벡터) 94%, 3위는 21번이(적분법) 62%를 차지했습니다.

그럼 21번을 풀어보겠습니다. 

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 주어졌고 $f(-1)$을 구하는 것입니다. 조건이 제시된 순서대로 한번 문제를 풀어보겠습니다.

$(가)$에서 모든 실수 x에 대하여 $2{f(x)^2}f'(x) = {f(2x+1)}^2f'(2x+1)$가 주어졌고, $f'(x)$가 존재합니다.

$(나)$에서는 $f(-\frac18)=1, f(6) = 2$가 주어졌습니다.

$(나)$의 조건을 이용하기위해서, 그리고 $f(-1)$을 구하라고 하였으므로, 저희는 조건 $(가$에서 적분을 할 생각을 합니다.

$\int 2{f(x)^2}f'(x) dx = \int {f(2x+1)}^2f'(2x+1) dx$

$\frac32 {f(x)}^3 = \frac16{f(2x+1)}^3 + C(C는 적분상수)$ 

발문에서 $f(-1)$을 묻는 발문이 조건 $(가), (나)$보다 먼저나왔음으로 발문에 근거해 $x = -1$을 먼저 대입해봅니다.

$\frac23 f(-1)^3 = \frac16 f(-1)^3 + C$

$\frac12 f(-1)^3 = C$

그러므로 $f(-1)$값을 구하기위해서는 적분상수 $C$를 구해야합니다. 

그리고 나서 조건 $(나)$를 이용할 생각을 합니다. 그런데 저희는 여기서 왜하필 조건 $(가)$에서 $f(2x+1)$에서 $2x+1$값이 주어졌는지 생각을 해보아야합니다.

이것을 조건 $(나)$와 연관지어 생각해보면 $2x+1$에 조건 $(나)$의 $x$값인 $-\frac18$을 넣어봅니다.

$x = -\frac18$

$2 \times -\frac18 +1 = \frac34$

숫자가 커집니다. 그럼 저희는 여기서 숫자를 넣다보면 조건 $(나)$에서 주어진 숫자 $6$이 나오진 않을까하는 궁금증이 생깁니다. 그래서 숫자를 반복적으로 넣어봅니다.

$x = \frac34$

$2 \times \frac34 +1 = \frac52$

 

$x = \frac52$

$2 \times \frac52 + 1 = 6$

숫자를 반복적으로 넣으니 조건 $(나)$에서 주어진 $6$이 나옵니다.

저희는 $f(-\frac18) = 1, f(6) = 2$를 알고 있으므로 결론적으로 $C$를 구할 수 있다는 확신을 가질 수 있습니다.

 

 

그리고 위의 숫자들을 차례로 대입합니다.

$f(-\frac18) = 1, f(6) = 2$

$x = -\frac18$일때

$\frac23 f(-\frac18)^3 = \frac16 f(\frac34)^3 + C$, $\frac23 = \frac16 f(\frac34)^3 + C$

$\frac23 f(\frac34)^3 = \frac83 - 4C$

$x = \frac34$일때

$\frac23 f(\frac34)^3$ = $\frac16 f(\frac52)^3 + C$, $\frac83 - 4C = \frac16 f(\frac52)^3 + C$

$\frac16 f(\frac52)^3 = \frac83-5C$

$x = \frac52$일때

$\frac23 f(\frac52)^3 $=$ \frac16 f(6)^3 + C$ = $\frac16 \times 2^3 + C$ = $\frac{4}{3}+C$ = $\frac{32}{3}-20C$

$21C = \frac{28}{3}$

$\frac12 f(-1)^3 = C, f(-1)^3 = 2C = \frac{56}{3 \times 21}$

$f(-1)^3 =\frac89$임으로

$f(-1) = \frac{2 \times 3^{\frac13}}{3}$임으로 정답은 ④이됩니다.

이 문제에서 눈여겨 볼것은 발문의 순서대로 문제를 풀면 문제풀이가 용이하다는 것과 언제나 그렇듯 킬러문제 21번, 29번, 30번에는 숫자 그자체가 힌트가 된다는것입니다. 

이와 비슷한문제로는 2020 고3 대학수학능력시험 9월 모의고사 수학 가형 30번이 있습니다.

 

 

2019 수능(대학수학능력시험) 29번 30번 문제풀이입니다.

(수능)모의고사 - 2019 대학수학능력시험 수학 가형(짝수)