2019 6월 수학나형 21번 짝수형 ( 고3 대학수학능력시험 6월 )
2018년 6월 7일(목요일) 시행
수학 나형 1등급 컷 87점(표준점수 131점)
오답률 70% 3위 : 21번
출제영역 : 3차 함수, 미분
발문이 곧 사고의 순서 = 문제풀이 순서
조건 $(가)$에서 $f(-1) > -1$이라고 하였으므로,
$f(-1) = -1 + a -b > -1 $
$a > b$
조건 $(나)$에서 $f(1) - f(-1) >8$임으로
$f(1) - f(-1) = 1 + a + b - ( -1 + a -b) > 8$
$ b > 3$
조건 $(가), (나)$를 합치면 $ a > b > 3 $이 됩니다.
ㄱ. 방정식 $f'(x) = 0은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$의 근을 물었으므로 판별식 $D$를 사용합니다.
$\frac{D}{4} = a^2 - 3b $ 여기서
$a>3$이고 $a>b$임으로 $a^2 - 3b>0$임으로 $f'(x) = 0$은 서로 다른 두실근을 갖는다. 참.
ㄴ. $ -1 < x < 1 $ 일 때, $f'(x) \ge 0$ 이다.
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$인데
$f'(-1) = 3 -2a + b = 3 - a + b - a<0$ ( $a > b > 3$)
$f'(1) = 3 + 2a + b >0 $임으로 그림으로 나타내면 아래와 같이 됩니다.
$f'(-1)<0, f'(1) > 0$임으로 $ -1 < x < 1 $ 일 때, $f'(x) \ge 0$는 거짓이 됩니다. 거짓.
ㄷ. 방정식 $f(x) - f'(k)x = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 2가 되도록 하는 모든 실수 $k$의 개수는 4이다.
$f(x) -f'(k)x = x^3 + ax^2 + bx - (3k^2 +2ak + b)x = 0$
$x^3 + ax^2-(3k^2 + 2ak)x = x(x^2 + ax - 3k^2-2ak) = 0$에서 서로 다른 실근의 개수가 2개가 되기 위해서는 $x^2 + ax - 3k^2-2ak$가 0이 아닌 중근을 가지거나, 한 근은 0이고 0이 아닌 다른 한 실근을 가져야 합니다.
그러므로
1. 중근을 가질 때
판별식 $D = a^2+4(3k^2+2ak) = a^2 + 8ak + 12k^2 $= $(a+6k)(a+2k) = 0$임으로
$k = -\frac{a}{2}, -\frac{a}{6}$ 2개를 가지고
2. 한근은 0이고, 0이 아닌 다른 한 실근을 가질 때
한근은 0이어야 하므로 $x^2 + ax - 3k^2 -2ak$에서 $3k^2 + 2ak$가 $0$이 되어야 합니다.
$3k^2 +2ak = k(3k + 2a) = 0$임으로 $k = 0, -\frac{2a}{3}$ 2개를 가집니다.
그러므로 모든 실수 $k$의 개수는 4개이므로
ㄷ. 방정식 $f(x) - f'(k)x = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 2가 되도록 하는 모든 실수 $k$의 개수는 4이다. 참
그럼으로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이 되고 정답은 ③입니다.
ㄷ. 은 그래프로 해석하여 풀 수 도 있습니다.
감사합니다.
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