2019 9월 수학나형 30번 짝수형( 고3 대학수학능력시험 9월 모의평가 : 모의고사)

2019학년도 9월모의고사 수학 나형 짝수.pdf

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2019학년도 9월모의고사 수학 나형 답지.pdf

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2019 9월 수학나형 30번 짝수형 ( 고 3 대학수학능력시험 9월 모의평가 )

2018년 9월 5일(수요일)시행

수학 나형 1등급 컷 92점(표준점수 133점) 2개 틀리면 1등급이 나오는 잘 치러진 시험

오답률 97% 1위 : 30번

출제영역 : 3차 함수, 미분

발문의 순서 = 문제풀이 순서 = 사고의 순서

$f(f(x)) = x $의 모든 실근이 $0, 1, a, 2, b $임으로 이 5개 중 3개의 실근은 $f(x) = x$의 실근과 $y = x$에 대칭인 두 근으로 이루어진 것을 알 수 있습니다.

그럼 $0, 1, a, 2, b$중에서 어떤 근이 $f(x) = x$와의 교점이 되는지 판정해야 합니다. 

그런데 $f'(1) <0, f'(2) <0$이고 $f'(0) - f'(1) = 6$에서 $f'(1)<0$임으로 $f'(0)>0$임을 알 수 있습니다. 그리고 $f(x) = x$를 제외한 나머지 두 근을 $m, n$이라고 할 때, 나머지 두 근은 $f(m) =n, f(n) =m$을 만족해야 $f(f(x)) = x$를 만족할 수 있습니다. 이를 그림으로 나타내면 아래와 같이 됩니다.

그런데 $f(x) = x$를 만족하는 세근은 점점 커져야하므로 한 근은 $0과 b$라는 것을 알 수 있습니다. 그럼 나머지 한근을 택해야 하는데, 이 세 근을 제외한 나머지 두 근은 $f(m) = n, f(n) = m$을 만족해야 함으로 $f(x) = x$를 만족하는 나머지 한근은 $a$라는 것을 알 수 있습니다. (이해가 잘 되지 않으시면 $y = x$그래프를 $0, 1, b$과 $0, a, b$와 $(0, 2, b)를 지나게 순서대로 그려보면 쉽게 이해하실 수 있습니다.)

 

$f(x) = x$를 만족하는 세근이 $0, 2, b$라면 아래와 같이 그려지는데 이때 $f(a) = 1, f(1) =a$가 절대 될 수 없다는 것을 알 수 있습니다. 왜냐하면 $f(f(x)) = x$를 만족시키기 위해 $f(a)$값을 다시 $x$값으로 하여 $f(x)에 넣어보면 그림상으로도 너무 큰 값이 나온다는 것을 알 수 있습니다.( 검은선이 $y= x$입니다.

즉 $f(x) = x$를 만족하는 근은 $0, a, b$이고 나머지 두 근 $1, 2$는 $f(m) = n , f(n)= m$을 만족하는 $y = x$대칭이 되는 근이어야 하므로 $f(1) = 2, f(2) =1$임을 알 수 있습니다.

그러므로 $f(x) -x = k x (x-a)(x-b)$가 됩니다.

 

 

그럼 그래프를 그려보면 아래와 같이 되고

$(1, 2)$와 $(2, 1)$는 직선 $y = x$에 대해 대칭이고 함수 $f(x)$에 대해서도 대칭이므로, 3차 함수 위이고 $y=x$위인 점 $a$에 대해서도 대칭이어야 합니다. 삼차 함수 $f(x)$는 변곡점에 대해 대칭이므로 점 $a$는 변곡점이 되어야 합니다. 

$f(x) -x = k x (x-a)(x-b)$

$f'(x) - 1  = k ( (x-a)(x-b) + x( x - b) + x( x - a ))$

$f''(x) = k( (x-b) + (x-a) + (x-b) +( x) +( x- a) + (x)) = k (6x-2a -2b)$

$f''(a) = k(4a-2b) = 0$이어야 하므로 $b = 2a$가 됩니다.

$f(x) - x = k x(x-a)(x-2a)$

$f(1) = 2, f(2) = 1$임으로

$f(1) = k(1-a)(1-2a) + 1 = 2$

$f(2) = 2k(2-a)(2-2a) + 2 = 1$

$k(1-a)(1-2a) = 1$  ①

$2k(2-a)(2-2a)$ = $4k(2-a)(1-a)= -1$ 두식을 더하면

$k(1-a)(1-2a +8-4a) = k(1-a)(9-6a)$임으로

$ a = \frac32$이 되고  ①식에 다시 대입하면

$k(-\frac12)(-2) = 1$임으로 $k=1$이나 옵니다. 그러므로

$y -x = x(x-\frac32)(x-3)$이 되고

$f(5) -5 = 5(5-\frac32) 2 = 5(10-3) = 35$임으로

$f(5) = 40$이 됩니다.

 

삼차함수가 변곡점에 대해 대칭인것을 모르시는 분들은 $f(x) - x = kx(x-a)(x-b)$에서 $f'(0) - f'(1) = 6, f(1)=2,f(2)=1$을 계산해서 풀 수도 있습니다.

 

감사합니다.

 

 

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