2020 수능 수학가형 30번 짝수형 (대학수학능력시험)
오직 한 점에서 만나는 점의 $x$좌표를 $p$라고 하자.
그럼 오직 한 점에서 만나므로, 점 $p$에서의 함숫값과 기울기가 각각 같다.
$t^3 ln(p-t) = 2e^{p-a}$ ······· 함숫값
$y = t^3ln(x-t)$을 미분 $y' = t^3 \frac{1}{x-t}$
$y = 2e^{x-a}$을 미분 $y' = 2e^{x-a}$
$t^3 \frac{1}{p-t} = 2e^{p-a}$ ·······점 $p$에서의 기울기가 같다.
이 두조건을 합치면 아래와 같이 된다.
$t^3 \frac{1}{p-t} = 2e^{p-a} = t^3ln(p-t)$
① $t^3 \frac{1}{p-t} = 2e^{p-a}$
$e^{p-a} = \frac{t^3}{2} (p-t)^{-1}$ 양변에 $ln$을 취한다.
$p-a = 3lnt -ln(p-t) - ln2$
$ a = f(t) = p + ln(p-t) -3ln(t) + ln2$ 양변을 $t$에 대해 미분.
$f'(t) = \frac{dp}{dt} -3\frac{1}{t} + \frac{1}{p-t}(\frac{dp}{dt} -1)$ ······· ㄱ.
② $t^3 \frac{1}{p-t} = t^3 ln(p-t)$
$\frac{1}{p-t} = ln(p-t)$ 양변을 t에 관해 미분.
$\frac{1}{p-t}(\frac{dp}{dt} - 1) = -(p-t)^{-2} (\frac{dp}{dt} - 1 )$ 양변을 $(p-t)^2$을 곱한다.
$p - t = -1$
여기서 구한 식을 ㄱ.에 대입하고 $t = \frac13$을 대입하면
$f'(\frac13) =\frac{dp}{dt} - 3 \times 3 - (\frac{dp}{dt} -1) = -9 + 1 = -8$
$(f'(\frac13))^2 = 64$가 되어 정답은 64가 된다.
2020 대학수학능력시험에서 오답률 1위를 차지했지만, 어렵지 않은 음함수의 미분법 계산문제였다.
수능이 해가 지날수록 쉬워지는 듯하다.
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