다항식과 일차식
혹시 다항식과 일차식에 대해 들어보셨나요?
들어는 봤는데, 잘 기억이 나지 않는 분도 있을 거고, 들어는 봤는데 정확한 의미가 무엇인지 모르는 사람도 있을 거예요.
오늘은 다항식과 일차식에 관한 여러 가지 용어를 익혀볼 거예요.
단항식은 무엇인지, 다항식과 무엇이 다른지, 다항식과 관련된 용어에 대해 정확하게 이해해 봅시다.
다항식
다항식을 배우기 전에 먼저 알아야 하는 용어 3가지가 있어요.
항, 상수항, 계수랍니다.
예시를 보면서 이해해볼 거예요.
$3x - 4y +3 $
항이란 수 또는 문자의 곱으로 이루어진 식이에요.
위의 예시 $3x -4y +3$에서 $3x$, $-4y$, $3$ 각각을 항이라고 불러요.
상수항은 용어를 보면 마지막 글자가 항으로 끝나죠? 그러니까 상수항은 항인걸 알 수 있어요.
위에서 항은 수 또는 문자의 곱으로 이루어진 식이었죠?
상수항은 문자 없이 수만으로 이루어진 항이에요.
$3x-4y+3$에서 문자없이 수만 있는 항은 $3$이니 상수항은 $3$이랍니다.
계수의 뜻은 항에서 문자 앞에 곱해진 수예요.
$3x-4y+3$에서 항은 $3x$, $-4y$, $3$이었어요.
$3x$에서 문자 $x$ 앞에 숫자 $3$이 있으므로 $x$의 계수는 $3$이에요.
$-4y$에서 문자 $y$ 앞에 숫자 $-4$가 있으므로 $y$의 계수는 $-4$에요.
$3$은 문자가 없으니 $3$의 계수라는 질문을 던질 수 없겠죠?
즉, 정리하면 $3x-4y+3$에서 항의 개수는 $3x$, $-4y$, $3$ 총 3개이고, $x$의 계수는 3, $y$의 계수는 $-4$, 상수항은 $3$입니다.
항 : 수 또는 문자의 곱으로 이루어진 식을 의미.
상수항 : 문자 없이 수로만 이루어진 항을 의미.
계수 : 항에서 문자 앞에 곱해진 숫자.
항, 상수항, 계수에 대해 이해했으니 다항식과 단항식에 대해 알아볼게요.
다항식에서 다(多 많다)는 '많을 다'라는 한자예요.
'다수의 사람들'은 '여러 명의 사람들'을 의미하잖아요? 여기서 쓰이는 '다수'라는 단어의 '다'자랑 같은 의미예요.
그럼 다항식은 말 그대로 풀어보면 '항이 많은 식'이 되겠죠?
즉 항이 1개 이상이면 다항식이고 불러요.
단항식에서 단(單 홑)은 '홑 단'이라는 한자예요
영어 공부할 때, 단수 복수라는 말 들어봤죠? 이때 단수는 한 명, 복수는 여러 명을 의미하잖아요?
단항식에서 '단'은 단수에서의 '단'이랑 똑같은 의미라고 이해하면 돼요.
단항식도 말 그대로 풀어보면 '항이 하나인 식'이 되네요.
즉, 항이 단 1개이면 단항식이라고 부른답니다.
위의 예시인 $3x-4y+3$은 항이 $3x$, $-4y$, $3$ 3개이니 다항식이에요.
$3x$, $-4y$, $3$각각은 하나의 항이니 단항식이에요. 하지만 다항식이라고도 부를 수 있는 거죠.
즉, 단항식은 모두 다항식이에요.
다항식 안에 포함이 되는 거죠.
다항식 : 1개 또는 2개 이상의 항의 합으로 이루어진 식을 의미해요.
Ex) $3b$, $3x-4y+3$, $3x-4y$, $a + b + c $, $3$
단항식 : 항이 한 개뿐인 다항식
Ex) $x$, $3$, $-2y^2$
자 그럼 잘 이해했는지 예제문제를 통해 확인해 봅시다.
예제문제 1. 다음 주어진 다항식에서 항과 상수항, 계수를 써라.
( 1 ) $3x - 4$
정답 :
항 2개 = $3x$, $-4$
상수항 = -3
$x$의 계수 = -4
( 2 ) $3x^2-\frac{x}3 - 2 $
정답 :
항 3개 = $3x^2$, $-\frac{x}3$, $-2$
상수항 = $-2$
$x^2$의 계수 = $3$
$x$의 계수 = $-\frac13$
일차식
일차식을 배우기 전에 우선 '차수'라는 말이 어떤 의미인지 알아야 해요.
차수를 구하려면 다항식에서 '어떤 문자가 몇 번 곱해져 있는지'를 세어 보아야 해요.
예시를 볼게요
$3x^3 = 3 \times x \times x \times x $
$3x^3$에는 $x$가 3번 곱해져 있어요.
그러므로 $3x^3$에서 $x$의 차수는 3이라고 표현을 해요.
$2y^2 = 2 \times y \times y $
$2y^2$에는 $y$가 2번 곱해져 있어요.
그러므로 $2y^2$에서 $y$의 차수는 2에요.
지금까지의 차수는 항이 1개인 항의 차수를 구해본 거예요. $3x^3$에서 $x$의 차수는 3이었고, $2y^2$에서는 $y$의 차수는 2였어요.
그럼 항이 1 개개 아닌 2개 이상인 다항식에서의 차수는 어떻게 구할까요?
다항식에서 차수가 가장 큰 항의 차수가 다항식의 차수가 된답니다.
예시를 보며 이해해 볼게요.
$3x^2 + 4x - 2$
각각의 항을 보면
$3x^2$에서 $x$가 2번 곱해져 있으므로, $x$의 차수는 2에요.
$4x$에서 $x$가 1번 곱해져 있으므로, $x$의 차수는 1이에요.
$-2$에서 문자가 곱해져 있지 않으므로, 차수는 0이에요. ( 상수항은 차수가 0이랍니다. )
위의 다항식에서 가장 큰 차수는 2이므로, 다항식 $3x^2 + 4x -2 $의 차수는 2이고, '이차식'이라고 읽어요.
이차식 = 2차 ( 차수 ) + 식
그럼 일차식은 어떤 의미일까요?
네, 맞아요!!!
차수가 1인 다항식을 의미한답니다.
일차식의 예시를 잠깐 볼게요.
$ 2x +4$
$-y+1$
$ \frac{a}4 + 1 $
문자의 종류는 상관없어요. x나 y이어도 되고 a이어도 돼요. 중요한 건 몇 번 곱해져 있는지랍니다.
자 그럼 정리해볼게요.
항의 차수 : 어떤 항에서 문자가 곱해져 있는 개수 ( x이든 y이든 문자의 종류는 관계없음 )
다항식의 차수 : 다항식에서 차수가 가장 큰 항의 차수를 의미
일차식 : 차수가 1인 다항식을 의미.
자 그럼 잘 이해했는지 예제문제를 통해 확인해 봅시다.
예제문제 2. 다음 다항식의 차수를 구하고, 일차식을 골라주세요.
( 1 )$ -3x +8$
( 2 )$ \frac{x}{3} -2 $
( 3 ) $ a + 2a^2 + 1 $
( 4 ) $ -5 +2y - y^3 $
정답 :
( 1 ) 1차식 x가 1번
( 2 ) 1차식 x가 1번
( 3 ) 2차식 a가 2번
( 4 ) 3차식 y가 3번
그러므로 일차식은 (1)과 (2)
Tip : 알아두면 좋아요!!
- $\frac{1}{x}$와 같이 분모에 문자가 있는 경우는 다항식이 아니랍니다. 그러므로 일차식도 아니겠죠?
- 문제에 종종 나오니 기억해 두세요!
오늘도 공부하느라 고생하셨어요~
궁금한 게 있으시면 언제든지 댓글에 남겨주시기 바랍니다.
감사합니다.
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