일차식의 곱셈 나눗셈 (중1 수학)

일차식의 곱셈 나눗셈

일차식이 무엇인지 기억나시나요?

저번 시간에 했었는데, 까먹은 분도 있을 거고 오늘 일차식이란 말을 처음 들어본 사람도 있을 거예요.

 

오늘은 일차식의 곱셈, 나눗셈을 어떻게 계산하는지 배워볼 거예요.

처음엔 개념을 잡고 이해한 다음, 조금 더 간단하게 푸는 방법을 알려드릴 테니 잘 따라와 주세요. 

 

( 일차식을 모르시는 분은 아래에서 일차식의 개념을 익힌 뒤에 여기로 와주세요. )

다항식과 일차식 ( 중 1 수학 )

 

일차식의 곱셈 나눗셈

일차식의 곱셈 나눗셈을 하기 전에 일차식이 무엇이었는지 떠올려볼게요.

일차식은 아래와 같이 다항식에서 문자의 최고 차수가 1인 식이었어요. 문자가 1번 곱해진 식이었죠. 

 

$ 3x $  

$ 2x + 4 $

$ -4y - 2 $

$ a + 2 $

$ b + 12 $

 

기억나시나요?

자 그럼 일차식에 수가 곱해져 있는 경우는 어떻게 계산하면 될까요?

숫자는 숫자끼리 계산한 후에 문자는 써주기만 하면 된답니다. 

예시를 한번 볼게요.

 

$ 3x \times 3 = $

$ = 3 \times x \times 3 $

$ = (3 \times 3) \times x $ ······ ①

$ = 9x $

 

예전에 배웠듯이 곱셈은 교환법칙이 성립해요. 그러므로 ①처럼 $3$과 $x$의 위치를 바꾸어도 괜찮답니다.

그래서 문자인 $x$를 뒤로 빼주고 $3 \times 3$을 계산한 뒤 $x$만 붙여주면 $9x$가 되는 거죠.

하지만 계산할 때마다, 저렇게 계산하면 쓰는 게 많아 귀찮을 거예요.

 

이제 곱셈의 교환법칙이 성립하는 걸 알았으니, 위에서 제가 언급한 대로 숫자는 숫자끼리 계산한 후에 문자만 뒤에 붙여주면 된답니다.

아래와 같이 말이죠.

 

$ 3x \times 3 = 9x $

 

$3x$를 하나로 보고 $x$앞의 $3$에다가 뒤의 $3$만 곱한다고 생각하는 거예요.

이와 비슷한 다른 예시를 볼게요.

 

$2a \times 4 = 8a $

$3b \times 5 = 15b $

$5x \times 2 = 10x $

 

그럼 나눗셈은 어떻게 할까요? 우리 나눗셈은 어떻게 계산하기로 했었죠?

그렇죠!!

나눗셈은 곱셈으로 바꾸고 숫자를 역수로 바꾸어서 계산했었어요.

 

$ 5x \div 3  = 5x \times \frac13 = \frac53 x $  ······ ①

$ 6a \div 2 = 6a \times \frac12 = \frac62 a =3a $  ······ ②

 

$ 3x \div \frac35 = 3x \times \frac53  = 5x $  ······ ③

 

 ③처럼 분수를 나누어준 경우는 위와 같이 계산하지만,

 

 ①과 ②처럼 분수를 나눈 게 아니라 정수를 나누어준 경우는,

아래와 같이 나누는 수를 바로 분모에 써서 간단하게 계산하세요.

 

$ 5x \div 3 = \frac53 x $

$ 6a \div 2 =  \frac62 a =3a $

 

 

 

 

 

자 그럼 조금 더 길이가 긴 일차식의 곱셈을 볼게요.

 

$ 2(3x + 1) $ 

$ (3x + 1 )2 $

곱셈의 교환법칙이 성립하므로 위 2개의 식은 같은 식이에요.

 

이렇게 괄호가 있는 일차식의 곱셈은 어떻게 할까요?

아래와 같이 분배법칙을 이용해 순서대로 계산해주면 돼요.

일차식의 곱셈 나눗셈

 

다양한 문자의 사용에 익숙해지기 위해 여러 가지 예시를 볼게요.

 

$ 4(4x + 3 )  = 16x + 12 $

$ (5a + 1 )2 = 10a + 2 $

$ 7(2b + 3) = 14b + 21 $

 

생각보다 어렵지 않죠?

2가지만 기억하세요.

숫자끼리 곱한다. 문자는 숫자 뒤에 붙여만 준다.

 

$(2x+4 ) \div 2 $ 와 같은 나누기는 어떻게 할까요? 위에서 배웠던 것과 똑같이 계산해주면 돼요.

 

$(2x+4 ) \div 2 $

$ = (2x +4 ) \times \frac12 $

$ = \frac22 x + \frac42 $

$ = x + 2 $

 

또 다른 예시를 하나 더 볼 건데 우리 나눗셈을 할 때 어떻게 했는지 기억나나요?

 

정수를 나눌 땐 아래와 같이 바로 분수로 써주었어요.

$4x \div 2 = \frac42 x = 2x $

 

분수를 나눌땐 곱하기로 바꾸어 계산을 해주었었죠??

$4x \div \frac43 = 4x \times \frac34 = 3x$

 

이와 같이 간단한 정수로 나누어준 경우는 곱하기로 바꾸지 않고 바로 계산해줄 거예요.

 

$ (6x + 9 ) \div 3 $

$ = \frac63 x + \frac93 $

$ = 2x + 3 $

 

하지만 분수로 나누어준 경우는 곱하기로 바꾸어서 계산해줄 거랍니다.

 

$ (6x+9) \div \frac32 $

$ = (6x + 9 ) \times \frac23 $

$ = \frac{12}{3} x + \frac{18}{3} $

$ = 4x + 6 $

 

이해가 되셨나요?

자 그럼, 예제문제를 통해 잘 이해했는지 확인해 봅시다.

 

예제문제 1. 다음 식을 간단히 하세요.

( 1 ) $4x \times 8 $

( 2 ) $ (-2y) \times 5 $

( 3 ) $ 12x \div 3 $

( 4 ) $ 16x \div (-\frac83) $

 

정답 :

( 1 ) $32x$

( 2 ) $-10y$ 

( 3 ) $ 12x \div 3 = \frac{12}{3} x = 4x $

( 4 ) $16x \div (-\frac83) = 16x \times (-\frac38) = -6 x $

 

예제문제 2. 다음 식을 간단히 하세요.

( 1 ) $ 3( 2x + 4 ) $

( 2 ) $ (8x -16 ) \times \frac14 $

( 3 ) $ (15x - 5 ) \div 5 $

( 4 ) $ ( 5 + 2x ) \div (-\frac12) $

 

정답 :

( 1 ) $3(2x + 4 ) = 6x + 12 $

( 2 ) $ (8x -16 ) \times \frac14 = \frac84 x - \frac{16}4 = 2x - 4 $

( 3 ) $ (15x - 5 ) \div 5 = \frac{15}{5} x - \frac55 = 3x -1 $

( 4 ) $ ( 5 + 2x ) \div (-\frac12) = (5 + 2x ) \times(-2) = -10 -4x $

 

지금까지 간단한 일차식 문제로 잘 이해했는지 확인해 봤습니다.

일차식의 계산 문제는 연습을 많이 할수록 쉬워지고 빨라지니, 다양한 문제를 풀어보시길 바랍니다.

 

오늘도 공부하느라 고생하셨습니다.

궁금한 게 있으시다면 댓글에 남겨주세요.

감사합니다.