방정식과 항등식, 등식의 개념
안녕하세요. 오늘은 방정식과 항등식, 등식의 개념에 대해 알아볼 거예요.
중학교 1학년 수학에서 아주아주 중요한 기초가 되니, 그 개념에 대해 정확이 이해해야 해요.
방등식과 항정식 전에 '등식'의 개념에 대해 간단히 알아보고 방정식과 항등식의 뜻이 무엇인지 알아볼 거예요. 바로 시작해볼게요.
등식
등호를 아시나요?
$ 2+3 = 5 $
$ x + 3 = 5 $
등호는 위와 같이 더하기나 빼기와 같은 연산을 할 때 쓰는 같다(=)는 의미의 수학 기호였어요.
그럼 '등호'와 비슷하게 생긴 단어 '등식'은 어떤 의미일가요?
'등식'은 '등호(=)가 들어간 식'을 의미해요. 그래서 등식인 거죠.
그래서 아래와 같이 등호(=)가 있는 식은 모두 등식이에요.
$ y + 2 = 7 $
$ a + 2 = 4 $
여기서 $y+2$는 등호(=)의 왼쪽에 있고, 숫자 $7$은 등호의 오른쪽에 있어요.
우리는 지금부터 등호의 왼쪽을 한자 '왼 좌(左)'자를 써서 좌변, 등호의 오른쪽을 한자 '오른 우(右)'자를 써서 우변이라고 부를 거예요.
그리고 좌변, 우변을 통틀어서 양변이라고 한답니다.
지금까지 배운 용어를 한번 정리해해 볼게요.
등식 : 등호(=)가 들어간 식.
좌변 : 등호 왼쪽 부분.
우변 : 등호 오른쪽 부분.
양변 : 좌변 + 우변.
등식이 무엇인지 잘 이해했는지 한번 확인해 볼까요?
예제문제 1. 다음 중 등식을 모두 골라주세요.
ㄱ. $3b + 2$
ㄴ. $x + 3 = 9$
ㄷ. $a > 4$
ㄹ. $2 + 3 = 5$
ㅁ. $ 8 + 8 $
ㅂ. $3x + 2x = 5x$
정답 : ㄴ, ㄹ, ㅂ (등호가 들어간 거 찾으세요)
예제문제 2. 다음 등식에서 좌변, 우변을 써주세요.
ㄱ. 2x + 4 = 10
정답 : 좌변 : 2x + 4, 우변 = 10
방정식과 항등식
방정식
등식에 대해 잘 이해했으면 방정식의 뜻을 이해하는데 어렵지 않아요.
등식이 뭐였죠?
$ 2 + 3 = 5 $
$ x + 2 = 5 $
위처럼 등호(=)가 있는 식이었죠?
방정식은 등식 중에서 문자가 있는 식이에요. 위의 예시에서는 문자가 있는 $x + 2 = 5 $가 방정식이 되는 거죠.
또 다른 방정식 예시를 한 번 볼게요.
$ x + 3 = 6 $
위의 방정식에서 문자는 $x$에요. $x$에 숫자를 한번 대입해볼게요.
$x + 3 = 6 $
$x = 1$일때, $1 + 3 = 6 $ ······ ① : 틀린 식
$x = 2$일때, $2 + 3 = 6 $ ······ ② : 틀린 식
$x = 3$일때, $3 + 3 = 6 $ ······ ③ : 맞는 식
$x$에 1부터 3까지 숫자를 대입해 보았더니, 3을 넣었을 때 $ 3+ 3 = 6$으로 참인 식이 되었어요.
$x=1$을 넣었을 때는, $1 +3 = 4$인데 $1+3 = 6$이라고 되어 있으니 거짓인 식.
$x=2$를 넣었을 때는, $2 + 3 = 5$인데 $2+3= 6$이라고 되어 있으니 거짓인 식.
위의 예시들을 보니 $x +3 = 6 $인 방정식에서 $x$값에 따라서 $x + 3 = 6$이 참이 되기도 하고( $x = 3$일 때), 거짓이 되기도($x=1,2$일 때) 했어요.
정리하면 $x+3=6$인 방정식은 $x$값에 따라서 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 등식이에요.
$x$는 1이 될 수도, 2가 될수도, 3이 될수도, 혹은 또 다른 어떠한 숫자도 넣을 수 있어요.
그러므로 $x$는 어떤 수가 들어갈지 '알지 못하는 수'이며, 한자 '못할 미(未)', '알지(知)'자를 써서 '미지수'라고 부른답니다.
한 번 정리해 볼게요.
미지수 : 방정식에 있는 $x, y$같은 문자를 의미.
방정식 : 미지수의 값에 따라($x$값에 따라) 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 등식( $x + 3 = 5$)
잘 이해했는지 예시를 한번 볼게요.
$ y + 4 = 6 $
위의 등식이 방정식이고 미지수가 $y$인 것을 알고 있으면 지금까지 잘 이해한 거예요.
그런데 위의식 $y+4 = 6$에서 $y = 2$일 때 위의 식이 $2 +4 = 6$으로 참인 식이 되죠??
$y + 4 = 6$
$y = 2$일 때, $2 + 4 = 6$ : 참
우리는 이렇게 방정식을 참이 되게 하는 미지수 $y$의 값을 '방정식의 해' 또는 '방정식의 근'이라고 부를 거예요. 그리고 방정식의 해(근)를 구하는 것을 '방정식을 푼다'라고 말할 거고요.
자, 다시 한번 예시를 통해 정리해볼게요.
'$x + 2 = 7$의 방정식을 푸시오.'라는 의미는
$x + 2 = 7$을 참이 되게 하는 $x$값을 구하라는 의미예요.
$x = 5$일 때, $x + 2 = 7$인 식이 참이 되므로 $x = 5$는 이방정식의 해(근)라고 부른답니다.
자, 그럼 지금까지 방정식을 잘 이해했는지 예제문제를 통해 확인해볼게요.
예제문제 3. 다음 방정식 중 해가 $x = 2$인 것은??
ㄱ. $x - 4 = 2 $
ㄴ. $ 2x + 2 = 4 $
ㄷ. $ \frac{x}9 = 1 $
ㄹ. $2(3x-3) = 12 $
ㅁ. $ x + 1 = 2 $
정답 : ㄴ,
ㄱ의 해 6
ㄴ의 해 2
ㄷ의 해 9
ㄹ의 해 3, $ 6x-6 = 12$,
ㅁ의 해 1
항등식
방정식은 미지수의 값에 따라서 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 아래와 같은 식이었어요.
$x + 2 = 6$, $x = 4$ 일 때 참 (방정식의 해 : $x = 4 $)
항등식은 미지수에 어떤 수를 넣어도 항상 참이 되는 등식이에요.
예를 들어보면 아래와 같은 등식이죠.
$ x + 2x = 3x$
위의 식을 계산해보면 $ 3x = 3x$가 되죠? 즉, $x$에 어떠한 수를 넣어도 똑같은 값이 나오겠죠?
$x = 1$, $ 3 = 3 $
$x = 2$, $ 6 = 6 $
$x = 3$, $ 9 = 9 $
....
즉, 항등식은 계산했을 때 좌변과 우변이 같은 식이 나오게 된답니다.
$ x + 2x = 3x $
좌변을 계산하면 아래와 같이 좌변과 우변이 $3x$로 똑같게 나오죠?
$ 3x = 3x $
지금까지 잘 따라왔으면, 방정식과 항등식에 대해 잘 이해한 거예요.
제대로 잘 이해했는지 정리해 볼게요.
방정식과 항등식을 구분하는 예제문제와 항등식 문제를 풀어볼게요.
예제문제 4. 다음 보기 중 방정식과 항등식을 구분하세요.
ㄱ. $3x = 6$
ㄴ. $3-x = x-3$
ㄷ. $ 5 = x + 9 $
ㄹ. $ 2(x+2) = 2x + 4 $
정답 ) 방정식 : ㄱ, ㄷ 항등식 : ㄴ ㄹ
아래의 문장 '$x$값에 관계없이 항상 참이 되는 등식'은 항등식을 의미하니, 꼭 알아두도록 합시다.
예제문제 5. 다음 중 $x$의 값에 관계없이 항상 참이 되는 등식(항등식)을 모두 고르면?
ㄱ. $3x = 0 $
ㄴ. $ 3 ( 3x + 3 ) = 9x + 9 $
ㄷ. $x + 2 = 3x$
ㄹ. $ ( 5x +5) \div 5 = x + 1 $
정답) ㄴ, ㄹ
오늘도 공부하느라 고생하셨습니다.
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