거듭제곱의 계산과 분배법칙
우리가 중학교에 처음 올라와서 첫 시간 때 소인수분해를 배우면서 거듭제곱의 개념을 배웠었어요.
기억나시나요??
$2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$ 와 같이 같은 수를 여러 번 곱할 때 똑같은 수를 반복해서 쓰지 않고 간단하게 나타내는 방법이었죠?
위의 경우는 자연수의 거듭제곱인데,
$(-2)^{4}$과 같이 자연수에서 좀 더 확장된 정수와 유리수에서는 거듭제곱을 어떻게 계산할까요?
그리고 또 분배법칙은 뭘까요?
어렵지 않으니 바로 시작해 봅시다.
거듭제곱의 계산
양수의 거듭제곱의 부호
정수와 유리수에는 양수인 +와 음수인 -가 있어요.
양수인 +1, +2, +3, +4, .......는 +를 생략해서 나타낼 수 있으니 1, 2, 3, 4, ...... 처럼 쓸 수 있어요.
즉, 양수의 거듭제곱은 자연수의 거듭제곱과 같아요. 럭키!
양수의 거듭제곱은 따로 공부할 필요도 없겠네요.
$(+2)^3 = (+2) \times (+2) \times (+2) = 2 \times 2 \times 2 = 8$
위의 예시는 +2를 바로 2로 쓰고 계산한 거예요.
즉, 양수의 거듭제곱은 아래와 같이 바로 간단하게 쓰면 된다는 거죠!
$ (+4) ^3 = 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$
음수의 거듭제곱의 부호
그럼 음수의 거듭제곱의 부호는 어떻게 계산하면 될까요?
그에 대한 답은 저번 시간에 배웠던 정수와 유리수의 곱셈에 있어요.
혹시 기억나시나요??
음수를 짝수번 곱하면 양수! $ (-2) \times (-2) = 4 $
음수를 홀수번 곱하면 음수! $ (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 $
위의 예시를 거듭제곱으로 표현해볼게요!
$ (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -( 2 \times 2 \times 2) = -8 $
-2를 3번(홀수번) 곱했으니 부호는 -를 써주고 2를 3번 곱한 것만 계산해주면 되네요.
$(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = + (2 \times 2 \times 2 times 2) = 16 $
-2를 4번(짝수번) 곱했으니 부호는 +를 써주고 2를 4번 곱한 걸 계산해 주면 되겠죠??
정리해보면,
음수의 거듭제곱일 때 지수가 짝수이면 양수, 지수가 홀수이면 음수가 되는 거죠.
자 그럼 예제문제를 통해 잘 이해했는지 확인해보겠습니다.
아래의 3가지를 잘 기억하며 문제를 풀어봅시다.
1. 양수의 거듭제곱의 부호 --- > +(양수)
2. 음수의 거듭제곱에서 지수가 짝수 ---> + (양수)
3. 음수의 거듭제곱에서 지수가 음수 ---> - (음수)
예제문제 1. 다음을 계산하시오.
( 1 ) $ ( +3 )^4 $
( 2 ) $ ( -4 ) ^3 $
( 3 ) $ ( -1 ) ^{99} $
( 4 ) $ ( -1 ) ^{50} $
( 5 ) $ ( -5 ) ^2 $
정답 : ( 1 ) 81 ( 2 ) -64 ( 3 ) -1 ( 4 ) 1 ( 5 ) 25
예제문제 2. 다음을 계산하여라.
( 1 ) $ ( -1 ) ^3 \times (-2) ^3 $
( 2 ) $ (+2 ) ^3 \times (-3 ) ^2 $
정답 : ( 1 ) $ (-1 ) \times (-8) = 8 ( 2 ) $ 8 \times 9 = 72 $
분배법칙
법칙이라는 말이 들어가서, 헉!! 뭐지?? 어려운 건가??
라고 느낄 수 있지만 알고 보면 정말 쉬워요.
예를 들어 볼게요.
$ 10 \times ( 2 + 3) =10 \times 2 + 10 \times 3 $
위의 식만 보면 뭘 분배했다는 거지?라는 의문이 들 수 있어요. 아래의 그림을 볼게요.
10을 2에 분배해주고, 10을 3에도 분배해주었죠? 그래서 분배법칙이라고 부르는 거예요.
정말 쉽죠?
계산해보면 어떻게 될까요?
$ 10 \times ( 2 + 3 ) = 10 \times 2 + 10 \times 3 = 20 + 30 = 50 $
'어? 그런데 아래의 식으로 풀면 더 편하지 않아요?'라고 물어볼 수 있어요.
$ 10 \times ( 2 + 3 ) = 10 \times 5 = 50 $
이 질문에 대해 답을 해드리면, 더 편한 방식대로 계산하면 돼요.
'어? 그럼 분배법칙이 필요 없는 거 아니에요?'라고 물어볼 수 있어요.
그 질문에 대한 답은 아래의 예시로 답을 해볼게요.
$ 12 \times 97 + 12 \times 3 = 12 \times ( 97 + 3 ) = 12 \times 100 = 1200$
위의 식은 분배법칙을 이용해 괄호를 묶은 거예요.
만약 괄호로 묶지 않았다면 $ 12 \times 97 + 12 \times 3$을 계산해야 하는데,
$12 \times 3 = 36$으로 할만해도, $12 \times 97$은.... 음....
계산하고 싶지가 않죠??
분배법칙을 알아두면 위의 예시처럼 계산할 때 편한 경우가 있답니다.
그러므로 알아둬야겠죠?
자, 분배법칙을 이해했으니, 수학적 기호로 있어 보이게 써보겠습니다.
세 수 a, b, c에 대하여
$ a \times (b + c ) = a \times b + a \times c $
$ ( a + b ) \times c + a \times c + b \times c $
곱셈의 교환법칙이 성립하니 2번째 것도 성립하는 걸 알겠죠?
근데 굳이 어렵게 문자로 외울 필요는 없어요.
수학은 쉽게 배우는 게 훠~얼 ~씬 문제 풀 때 편하거든요.
그럼 쉽게 배우는 방법은???
개념을 외우기보다는 정말 쉬운 예시 하나를 외우는 거예요.
분배법칙을 아래의 예시로 기억하세요
분배법칙을 이용하여 괄호 풀기
$ 7 \times 102 = 7 \times ( 100 + 2 ) = 7 \times 100 + 7 \times 2 = 714 $
분배법칙을 이용하여 괄호 묶기
$ 12 \times 97 + 12 \times 3 = 12 \times ( 97 + 3 ) = 1200$
예제문제를 통해 잘 이해했는지 확인해봅시다!
예제문제 3. 분배법칙을 이용하여 $ (-13) \times 53 + (-13) \times 47 $을 계산하여라.
정답 : $ (-13) \times ( 53 + 47 ) = (-13 ) \times 100 $ = -1300 $
예제문제 4. 분배법칙을 이용하여 $ 115 \times 4 $를 계산하시오.
정답 : $ 115 \times 4 = (100 + 15 ) \times 4 = 100 \times 4 + 15 \times 4 = 400 + 60 = 460 $
오늘도 공부하느라 고생하셨습니다.
포스팅 상단에 정리 파일이 있으니 참고해주세요
궁금한 게 있으시다면 댓글에 남겨주시기 바랍니다.
감사합니다.
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