정수와 유리수의 곱셈, 교환법칙, 결합법칙
정수와 유리수의 사칙연산 세 번째 시간, 덧셈과 뺄셈에 이어 곱셈이에요.
초등학교 때 $ 3 \times 4 =12$ 와 같은 자연수의 곱셈을 배웠었죠?
정수와 유리수의 곱셈도 자연수와 곱셈과 크게 다르지 않아요.
단, 하나 다른 점은 부호랍니다.
자연수는 $ 1, 2, 3, 4, .......$ 이었지만,
정수는 $ ......,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .......$와 같이 양수( 1, 2, 3, 4 )와 음수( -1,-2,-3,-4, ......)가 있잖아요.
그래서 지금부터 부호에 주의하면서 정수와 유리수의 곱셈을 배워볼 거예요
정수와 유리수의 곱셈
정수와 유리수의 곱셈에서 곱하는 두 수의 부호가 같을 때와 부호가 다를 때 계산하는 방법이 달라요.
한번 알아봅시다.
( $+1,+2, +3$과 같은 양수는 $1, 2, 3$처럼 부호 생략이 가능하니 계산할 때 생략해줄 거예요. )
( 1 ) 부호가 같은 두 수의 곱셈
- 부호가 같은 두 수의 곱은 모두 양수예요.
예시를 봅시다.
$ (+4) \times (+2) = 4 \times 2 = 8 $
곱하는 두 수가 양수인 경우 자연수의 곱셈과 같아요.
이 경우는 우리가 이미 알고 있는 경우이니 따로 공부할 필요도 없겠죠?
$ ( -2 ) \times ( -3 ) = + ( 2 \times 3 ) = 6 $
곱하는 두 수가 음수인 경우 두 수의 절댓값을 곱해주면 돼요. 위 과정은 이해를 위해 2번을 거쳤는데, 사실상
$ (-2 ) \times (-3) = 6 $
으로 - 부호를 없다고 생각하고 $2 \times 3$으로 바로 계산해 주어도 괜찮겠죠?
예제 문제 1. 다음 □안에 알맞은 수를 써넣어라.
( 1 ) $ ( + 4 ) \times ( + 5 ) = \Box $
( 2 ) $ ( - 2 ) \times ( -4 ) = \Box $
( 3 ) $ ( - \frac 12) \times ( -4 ) = \Box $
정답 ( 1 ) 20 ( +20) ( 2 ) 8 ( +8 ) ( 3 ) 2 ( +2 )
( 2 ) 부호가 다른 두 수의 곱셈
- 부호가 다른 두 수의 곱은 음수예요.
예시를 봅시다.
$ ( +4 ) \times ( -5 ) = - ( 4 \times 5 ) = - 20 $
부호가 다른 수의 곱셈인 경우 부호를 무시하고 $ 4 \times 5$ 를 계산한 다음 - 부호만 붙여주면 된답니다.
$ ( -5 ) \times ( +4 ) = - ( 5 \times 4 ) = - 20 $
위의 경우와 순서만 바뀐 거죠?
곱하는 두 수의 부호가 다르니깐, $ 5 \times 4 $를 계산하고 - 부호만 똑같이 붙여주면 된답니다.
예제문제 2. 다음 □안에 알맞은 수를 써넣어라.
( 1 ) $ ( -5 ) \times ( +3 ) = \Box $
( 2 ) $ ( +7 ) \times ( -4 ) = \Box $
( 3 ) $ ( +\frac 23 ) \times (- 6 ) = \Box $
정답 ( 1 ) -15 ( 2 ) -28 ( 3 ) -4
곱셈의 교환법칙
정수와 유리수의 덧셈을 공부할 때, 덧셈의 교환법칙에 대해서 배웠었어요.
그럼 곱셈의 교환법칙은 성립할까요??
결론부터 말하면 곱셈의 교환법칙은 성립한답니다.
어?? 왜 그럴까요?
부호가 다른 두 수의 곱셈에서의 예제를 다시 한번 볼게요.
$ ( +4 ) \times (-5 ) = -20 $
$ ( -5 ) \times ( +4 ) = - 20 $
+4와 -5의 곱셈에서 서로 자리가 바뀌었는데 결과가 똑같죠? 그러니깐 곱하는 두 수를 위치를 교환해서 곱해도 그 결과는 아래와 같이 똑같네요.
$ ( +4 ) \times ( -5 ) = ( -5 ) \times ( +4 ) = - 20 $
그럼 두 수의 부호가 같은 경우도 한번 볼까요??
$ ( +4 ) \times ( +2 ) = 8 $
$ ( +2 ) \times ( +4 ) = 8 $
두 수의 부호가 같은 경우도 곱하는 두 수의 위치를 교환해도 그 결과는 동일하죠?
그러므로 아래와 같이 쓸 수 있네요.
$ (+4 ) \times ( +2 ) = ( +2 ) \times ( +4 ) = 8 $
우리는 수학을 배우니깐, 이 곱셈의 교환법칙을 수학적 기호로 조금 있어보이게 나타내면 아래와 같이 나타낼 수 있겠죠??
두 수 a, b에 대하여 다음이 성립한다.
곱셈의 교환법칙 : $ a \times b = b \times a $
쉽게 말하면 '자리를 바꿔서 곱해도 괜찮아'라는 의미랍니다.
곱셈의 결합법칙
곱셈의 결합법칙은 성립하는지, 성립하지 않는지, 어떻게 알 수 있을까요?
덧셈의 결합법칙은 성립했었죠?
결론부터 말하면 곱셈의 결합법칙도 성립한답니다.
예시를 볼게요.
$ ( 2 \times 3 ) \times 4 = 6 \times 4 = 24 $
$ 2 \times ( 3 \times 4 ) = 2 \times 12 = 24 $
세 수의 곱 2, 3, 4에서
2와 3을 먼저 곱하고 4를 곱하든 $ ( 2 \times 3 ) \times 4$
3과 4를 먼저 곱하고 2를 곱하든 $ 2 \times ( 3 \times 4 ) $
그 결과가 똑같죠?
그러므로 세 수의 곱은 아래와 같이 표현해도 된답니다.
$ ( 2 \times 3 ) \times 4 = 2 \times (3 \times 4 ) = 2 \times 3 \times 4 $
어떤 수를 먼저 곱해도 상관없으니 괄호를 모두 없애주어도 괜찮아요.
즉, 교환법칙과 결합법칙이 모두 성립하니까,
내가 계산하기 쉬운 것부터 계산을 해도 된다는 의미예요.
$ 2 \times 3 \times 4 $에서
나는
$ 2 \times 3 = 6$이 편해 $ (2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24 $
$ 2 \times 4 = 8$이 편해 $ (2 \times 4) \times 3 = 8 \times 3 = 24 $
$ 3 \times 4 = 12$가 편해 $ (3 \times 4) \times 2 = 12 \times 2 = 24$
( 알아보기 쉽게 괄호를 표시했을 뿐 계산할 때 괄호를 없애도 괜찮아요.)
자 그럼 예제문제를 통해 잘 이해했나 확인해봅시다.
잠깐!
문제 풀 때 Tip!
두 수의 곱에서 부호가 같으면 = 양수
두 수의 곱에서 부호가 다르면 = 음수
그럼 세수의 곱, 네 수의 곱, 숫자가 많은 수의 곱에서는 부호를 어떻게 해야 하죠??
기억하세요!
음수가 짝수개 = 양수
음수가 홀수개 = 음수
어떤 수와 0의 곱은 항상 0. (그러니까 곱하기에 0이 하나라도 있으면 무조건 0 )
$ (+3) \times (-4) \times (+2 ) = -24 $
1. 그냥 숫자를 곱함 $ 3 \times 4 \times 2 = 24 $
2. 음수가 몇 개인지 확인. 1개임 = 홀수개 = 음수
3. - 만 붙임. 정답 -24
$ (-3) \times (-2) \times (-3 ) = -18 $
1. 그냥 숫자를 곱함 $ 3 \times 2 \times 3 = 18 $
2. 음수가 몇개인지 확인. 3개 = 홀수개 = 음수
3. - 만 붙임. 정답 - 24
마지막!!
$ (+1) \times (-1) \times (+1) \times (+2) \times (-1) = 2$
1. 그냥 숫자만 곱함 2
2. 음수가 몇개인지 확인. 2개 = 짝수개 = 양수
3. +임. +는 붙여도 되고 생략해도 됨. 정답 2 (+2)
$ ( +4 ) \times 0 = 0 $
$ 0 \times (-2) = 0 $
$ ( +3 ) \times 0 \times ( -2 ) = 0 $
$ 3 \times 2 \times 2\times 0 \times 0 = 0 $
오늘은 예시가 많으니 따로 확인 문제는 없습니다.
오늘도 공부하느라 고생하셨습니다.
포스팅 상단에 정리 파일이 있으니 참고해주세요.
궁금한 게 있으시다면 댓글에 남겨주세요.
감사합니다.
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