유리수의 나눗셈과 역수
오늘은 유리수의 나눗셈과 역수에 대해 알아볼 거예요.
우리가 앞에서 배운 정수와 유리수의 곱셈만 잘 이해했다면, 사실 유리수의 나눗셈은 공부할 내용이 별로 없어요.
역수는 중학교에 올라와서 새로 배우게 된 개념인데, 역수도 어렵지 않으니까 가벼운 마음으로 잘 따라와 주세요.
유리수의 나눗셈
유리수의 나눗셈에서 우리가 신경 써야 할 건 부호 하나예요.
유리수의 나눗셈에서 부호를 판단하는 방법은, 유리수의 곱셈을 할 때의 부호 판단 방법과 같아요.
유리수의 곱셈(정수 포함)에서 음수의 개수가 짝수개(0개 포함)이면 양수, 음수의 개수가 홀수개이면 음수였어요.
음수의 개수 2개(짝수개) $ 3 \times 2 = 6 $
음수의 개수 1개(홀수개) $ (-2) \times 4 = -8 $
즉, 유리수의 곱셈에서 우리가 신경 쓸 요소는 -가 붙은 음수가 있냐? 없냐? 였어요.
유리수의 나눗셈도 똑같답니다.
음수의 개수가 짝수 개면 양수, 음수의 개수가 홀수 개면 음수예요. 예시를 한 번 볼까요?
$ ( +6 ) \div ( +3 ) = 6 \div 3 = 2 $
+는 생략할 수 있으니까 그냥 6 나누기 3을 계산하면 되죠?
$ ( -6 ) \div ( +2 ) = - ( 6 \div 2 ) = -3 $
음수는 -6 하나이므로, 6 나누기 2를 한 다음 -만 붙여주면 되겠네요.
$ ( -8 ) \div ( -2 ) = 8 \div 2 = 4 $
음수는 -8과 -2로 2개예요. 그러니 8 나누기 2를 한 결과 4에다가 +부호만 붙여주면 되겠네요.( +는 생략 가능)
$ (-12) \div ( -2) \div (-3) = - ( 12 \div 2 \div 3 ) = -2 $
음수가 3개이므로 결과는 음수일 거예요. 그러므로 -는 뒤로 빼고 12 나누기 2 나누기 3을 해주면 -2가 나온답니다.
하나 알아두어야 할 건 0을 다른 수로 나누면 항상 0이라는 거예요
$ 0 \div 2 = 0 $
$ 0 \div 4 = 0 $
단, 여기서
$ 2 \div 0 $ 또는 $ 4 \div 0 $은 생각하지 않을 거예요. 왜냐하면, 나중에 배울 거거든요~
자그럼 예제문제를 통해 잘 이해했는지 확인해 봅시다.
예제문제 1. 다음을 계산하세요.
( 1 ) $ (+12 ) \div ( +4 ) $
( 2 ) $ ( +30 ) \div ( -6 ) $
( 3 ) $ ( -16) \div ( -2 ) $
( 4 ) $ ( -10 ) \div ( +5 ) $
정답 :
( 1 ) $ 12 \div 4 = 3 $
( 2 ) $ 30 \div (-6 ) = - ( 30 \div 6 ) = -5 $
( 3 ) $ (-16) \div (-2) = + (16 \div 2) = 8 $
( 4 ) $ (-10) \div (+5) = - ( 10 \div 5 ) = -2 $
어렵지 않죠?
저번 시간에 잘 이해했으면 유리수의 나눗셈은 곱셈과 똑같기 때문에 어렵지 않아요.
위의 방법처럼 직접 나누어서 구할 수도 있지만, 나누기를 곱셈으로 바꾸어서 구하는 방법도 있어요.
이 방법을 이해하려면 역수부터 알아야 하니 바로 한번 알아볼게요.
역수를 이용한 나눗셈
역수를 이용해 나눗셈을 하려면 역수부터 알아야겠죠?
역수는 두 수의 곱이 1이 될 때, 한 수를 다른 수의 역수라고 한답니다.
예시를 보면 바로 이해가 될 거예요.
$ 2 \times \frac12 = 1 $
위의 예시처럼 $2$랑 $\frac12$을 곱하면 1이 되죠? 그러니까 우리는,
'$2$ 는 $\frac12$ 의 역수이다.'라고 표현할 수 있고
'$\frac12$ 는 $2$ 의 역수이다.'라고 표현할 수도 있어요.
( 참고 : 0의 역수는 없다. )
무슨 말인지 바로 이해가 되시죠?
자 그럼 역수를 이해했으면, 역수를 이용해 나눗셈하는 법을 알아볼게요. 정말 간단해요.
나눗셈을 곱셈으로 바꾼 다음, 나누는 수를 그 수의 역수로 바꾸어 계산하면 돼요.
이것도 예시를 보면 바로 이해할 수 있을 거예요.
$ 6 \div 2 = 6 \times \frac12 = 3 $
6 나누기 2에서
2의 역수는 $\frac12$이므로
6 곱하기 $\frac12$로 바꾸어 계산했죠?
어... 역수를 빠르게 못 구하겠어요.... 하시는 분은 아래의 방법대로 역수를 구하면 돼요.
1. 정수인 경우 숫자를 분모에 써준다.
4의 역수는 4를 분모에 써주면 되니 $\frac14$이 되죠?
확인 $ 4 \times \frac14 = 1 $
15의 역수는 15를 분모에 써주면 $\frac{1}{15}$ 이에요.
확인 $ 15 \times \frac{1}{15} = 1$
2. 유리수인 경우 분모 분자 자리를 바꾸어 준다.
$\frac13$의 역수는 1과 3의 자리를 바꾸면 $\frac31$이므로 3이 되죠?
확인 $ \frac13 \times 3 = 1 $
$\frac23$의 역수는 2와 3의 자리를 바꾸면 되니 $\frac32$가 되네요.
확인 $ \frac23 \times \frac32 = 1$
역수 구하는 방법을 이해하고 나면 외울게 2가지가 아니라 1가지로 줄어들죠?
분모, 분자 자리를 바꾸어준다.
2의 역수를 구하는 것을 생각해보면
$ 2 = \frac21 $이므로 분모 분자 자리를 바꾸면, 2의 역수는 $\frac12$ 이 되잖아요. 그죠?
자 그럼 이번 예제문제에서는 나눗셈을 곱셈으로 바꾸어 역수를 이용해 계산해 봅시다.
예제문제 2. 다음을 계산하여라.
( 1 ) $ (-6 ) \div ( -\frac32) $
( 2 ) $ (-\frac53) \div (+\frac56) $
정답
( 1 ) $ (-6) \div (-\frac32) = +(6 \times \frac23) = 4 $
( 2 ) $ (-\frac53) \div (+\frac56) = -(\frac53 \times \frac65 ) = -2 $
예제문제 3. -7의 역수를 a, 2.5의 역수를 b라고 할 때, $ a \div b$의 값을 구하라.
정답
$ a = -\frac17$
2.5는 $\frac52$ 이므로
$ b = \frac25$
$ a \div b = (-\frac17) \div \frac25 = -(\frac17 \times \frac52) = -\frac{5}{14} $
포스팅 상단에 정리파일이 있으니 참고하시 바랍니다.
궁금한 점이 있으시면 댓글에 남겨주시기 바랍니다.
감사합니다.
댓글