공배수와 최소공배수
안녕하세요.
저번 시간에는 '최대공약수'에 대해서 배워보았습니다.
( 최대공배수를 모르시는 분은 최대공배수부터 공부한 다음, 최소공배수를 배우는 것을 추천드립니다. )
이번 시간에는 '최소공배수'에 대해 배워볼 텐데요.
일단 최소공배수가 무슨 의미인지 알아야겠죠?
최소공배수는 '가장 작다'는 의미인 '최소'와
'둘 이상의 수의 공통인 배수'라는 '공배수'라는 말이 합쳐진 단어입니다.
이해를 돕기 위해, 2와 3의 공배수를 구해보겠습니다.
2의 배수 : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 ······
3의 배수 : 3, 6, 9, 12, 15, 18 ······
그러므로 2와 3의 공배수는 6, 12, 18 ······ ( 6의 배수 )로 무한히 많습니다.
그러고 나서 최소공배수를 구해보면
최소공배수는 '공배수 중에서 가장 작은 수( 최소 )'인 것이므로 6이 됩니다.
그러므로 '두 수의 공배수( 2와 3의 공배수 )는, 최소공배수의 배수 ( 6의 배수 )'라는 것을 알 수 있습니다.
그런데, 우리는 왜? '최소공배수'를 배워야 할까요?
그 이유는 당연하게도 실생활 속에서 최소공배수가 유용하게 쓰이기 때문입니다.
지하철역을 예시로 들어보겠습니다.
서울역은 가끔 하나의 플랫폼에 서로 다른 노선 2개의 열차( A열차, B열차 )가
동시에 멈춰야 할 때가 있습니다.
이때, 두 열차가 부딪쳐서 사고가 나지 않게 하려면
두 열차의 배차간격을 알아야 합니다.
1호선 A열차는 12분 간격마다 서울역에 들어오고
4호선 B열차는 18분 간격마다 서울역에 들어온다고 한다면,
A열차 배차간격 : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 ······
B열차 배차간격 : 18, 36, 54, 72, 90, 108 ······
즉 최소공배수가 36이고, 36분마다 한 번씩 만납니다.
그러므로 충돌을 막으려면 36분마다 열차의 간격을 조절해주어야 한답니다.
자, 그럼 왜 배워야 하는지도 알았으니 최소공배수를 쉽게 구하는 방법을 배워봅시다!
공배수 : 둘 이상의 수의 공통인 배수
최소공배수 : 공배수 중에서 가장 작은 수
최소공배수 구하는 방법
최소공배수를 구하는 방법은 2가지가 있습니다.
나눗셈을 이용하는 방법 ( 추천 방법 )과 지수를 이용하는 방법입니다.
1. 나눗셈을 이용하는 방법
나눗셈을 이용하는 방법은 저번 시간에 배웠던 최대공약수 구하는 방법과 같습니다.
최소공배수를 구하려는 두 수를 적은 다음, 서로소가 나올 때까지 공약수로 계속 나누어 주는 거죠.
한 가지 있다면, 최대공약수에서는 공약수( 옆에 있는 숫자 )만 곱해주었지만,
최소공배수는 공약수( 옆에 있는 숫자 )와 서로소 ( 맨 밑의 숫자)까지 곱해줍니다.
위의 예시인 12와 18의 최소공배수를 구해보면
최대공약수는 $ 2 \times 3 = 6 $ 이고
최소공배수는 $ 2 \times 3 $의 아래에 있는 서로소 2와 3까지 곱해서
$ 2 \times 3 \times 2 \times 3 = 36 $ 입니다.
하지만 두 수가 아닌 세수의 최소공배수를 구한다면 방법이 조금 달라집니다.
세수 18, 28, 42의 최소공배수를 구해보겠습니다.
세 수의 최소공배수를 구할 때는, 몫이 서로소가 나올 때까지 두 수의 공약수만 찾아서 나누어주면 됩니다.
①은 18, 28, 42 세수의 공약수인 2가 있어 2로 나누어 주었습니다.
②는 9, 14, 21 세수의 공약수가 없으므로 9와 21의 공약수인 3으로 나누어주고 14는 그대로 써줍니다.
③에서도 3, 14, 7의 공약수가 없으므로 14와 7의 공약수인 7로 나누어줍니다.
마지막 몫의 세수 3, 2, 1은 서로소이므로 끝이 납니다.
즉 18, 28, 42의 최소공배수는 $ 2^2 \times 3^2 \times 7 \times 1 = 252$ 가 됩니다.
2. 지수를 이용하는 방법
지수를 이용하는 방법은 가장 먼저 소인수분해를 해야 합니다.
최대공약수를 구할 때도 지수를 이용할 수 있었습니다.
최대공약수는 공통인 소인수 중에서 소인수의 지수가 작은 것을 곱했었죠?
최소공배수는 다릅니다.
최소공배수는 공통이든 아니든, 모든 지수를 쓴 다음 공 통인 건 큰 지수를 쓰면 됩니다.
24와 60의 최소공배수를 구해봅시다.
24와 60을 각각 소인수 분해하면
$ 24 = 2^3 \times 3 $
$ 60 = 2^2 \times 3 \times 5 $
가 됩니다.
소수 2는 24와 60에 공통으로 있으므로, 지수가 큰 $ 2^3 $을 선택합니다.
소수 3은 24과 60에 공통으로 있고, 지수가 같으므로 지수가 큰 것을 쓰면 $ 3 $을 선택해주고
소수 5는 60에만 있으므로, $ 5 $를 택합니다.
그러므로 최소공배수는 $ 2^3 \times 3 \times 5 = 120 $ 이 됩니다.
두 숫자를 그대로 주어진다면 첫 번째 방법인 나눗셈을 이용해 최소공배수를 구하고,
두 수가 이미 소인수분해가 되어있다면 두 번째 방법을 이용합니다.
최소공배수 구하는 방법 정리
1. 나눗셈 이용
공약수로 나누어 준다. 서로소가 나올 때까지 공약수로 나누어준 다음, 공약수와 마지막 서로소를 모두 곱한다.
두 수가 그냥 주어졌을 때 사용.
2. 지수를 이용
소인수분해를 한 다음, 공통된 소수중 지수가 높은 수와 공통되지 않은 소수의 곱.
두 수가 이미 소인수분해되어있을 때 사용.
포스팅 상단에 정리 파일이 있습니다.
오늘도 공부하느라 고생하셨습니다.
궁금한 게 있으시다면 댓글에 남겨주시기 바랍니다.
감사합니다.
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